2022-2023学年上海市徐汇区南洋模范中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

• 1．如果不等式x＜m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则实数m的取值范围是

  ．
  组卷：30引用：3难度：0.7

  解析

• 2．已知f（x）为可导函数，且f'（2）=4，则

  lim

  h

  →

  0

  f

  （

  2

  -

  h

  ）

  -

  f

  （

  2

  +

  h

  ）

  h

  =

  ．
  组卷：59引用：3难度：0.9

  解析

• 3．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于

  ．
  组卷：94引用：4难度：0.7

  解析

• 4．已知直线a、b和平面α，若a∥b,b⊂α，则a与α的关系是

  ．
  组卷：65引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知n∈Z，化简

  sin

  [

  nπ

  +

  （

  -

  1

  ）

  n

  π

  6

  ]

  =

  ．
  组卷：76引用：2难度：0.7

  解析

• 6．5人中至少有两人生日在同一个月中的概率是

  ．（假设每月天数相同，结果用分数表示）
  组卷：49引用：2难度：0.8

  解析

• 7．对于实数x、y,若|x-1|≤1，|y-2|≤1，则|x-2y+1|的最大值为

  ．
  组卷：110引用：15难度：0.5

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

• 20．已知双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  ，F₁、F₂分别是它的左、右焦点，A（-1，0）是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2．设过右焦点F₂的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．
  （1）求双曲线的方程；
  （2）若直线AP、AQ分别与直线

  x

  =

  1

  2

  交于M、N两点，证明

  M

  F

  2

  •

  N

  F

  2

  为定值；
  （3）是否存在常数λ，使得∠PF₂A=λ∠PAF₂恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
  组卷：224引用：4难度：0.5

  解析

• 21．在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意的m∈N*，a_2m-1、a_2m、a_2m+1构成以2m为公差的等差数列．
  （1）求证：a₄、a₅、a₆成等比数列；
  （2）求数列{a_n}的通项公式；
  （3）设S_n=

  2

  2

  a

  2

  +

  3

  2

  a

  3

  +……+

  n

  2

  a

  n

  ，试问S_n-2n是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．
  组卷：189引用：3难度：0.7

  解析