2007年浙江省杭州市江干区数学小能手竞赛九年级试卷

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）

• 1．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油．舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里．这时，设咖啡杯里的奶油量为a,奶油杯里的咖啡量为b,那么a和b的大小为（　　）

  A．a＞b	B．a＜b
  C．a=b	D．与勺子大小有关
  组卷：176引用：2难度：0.7

  解析

• 2．设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（　　）

  A．锐角三角形

  B．钝角三角形

  C．直角三角形

  D．都有可能
  组卷：475引用：3难度：0.7

  解析

• 3．满足不等式n²⁰⁰＜5³⁰⁰的最大整数n等于（　　）

  A．8

  B．9

  C．10

  D．11
  组卷：670引用：3难度：0.7

  解析

• 4．甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站，乙再行驶4小时到达A站．那么，甲车速是乙车速的（　　）

  A．4倍

  B．3倍

  C．2倍

  D．1.5倍
  组卷：790引用：2难度：0.5

  解析

• 5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为（　　）

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  组卷：488引用：4难度：0.9

  解析

三、解答题（共4小题，满分60分）

• 15．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，O，M分别是GH，GD与EF的交点，N是BE与GH的交点，OM=ON．求证：▱ABCD是菱形．
  组卷：161引用：1难度：0.3

  解析

• 16．在平面上画互相垂直的两组平行线，相邻平行线的距离都等于1，这两组平行线的交点称为“格点”，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”，如图1．关于格点三角形的面积S，有一个著名的Pick定理：

  S

  =

  I

  +

  1

  2

  B

  -

  1

  ，其中I，B分别表示三角形内部与周界上的格点数．
  （1）阅读
  我们把互相垂直的其中两对平行线围成的矩形称为“格点矩形”，如图2，可验证Pick定理对格点矩形成立．设矩形ABCD的边AB，AD上分别有m,n个格点（不包括端点），并记矩形内部和周界上的格点数分别为I₀，B₀，则I₀=mn,B₀=2（m+n）+4，AB=m+1，AD=n+1.

  I 0 + 1 2 B 0 - 1 = mn + 1 2 [ 2 （ m + n ） + 4 ] - 1 = mn + m + n + 1 = （ m + 1 ） （ n + 1 ）

  = S ABCD .

  
  
  完成下列两题的证明
  （2）任何一个格点三角形都可以内接在一个格点矩形中，使三角形至少有一个顶点恰好是矩形的顶点．
  图3是最简单的情形．设边AC上的格点数为k（不包括端点），请用I₀，B₀和k分别表示△ABC内部和周界上的格点数，并利用（1）的结论证明：对于△ABC，Pick定理成立．
  （3）请利用（2）的结论证明：对于图4所示的△ABC，Pick定理也成立．
  
  组卷：36引用：1难度：0.5

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