2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学（四）导数及其应用（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知f（x）=cosx,则f′（

  5

  π

  6

  ）等于（　　）

  A． 3 2

  B．- 3 2

  C． 1 2

  D．- 1 2
  组卷：176引用：2难度：0.9

  解析

• 2．已知点A是曲线y=

  3

  ln x（x≥1）上的动点，在点A处的切线倾斜角为θ，则θ的取值范围是（　　）

  A．[0， π 2 ]

  B．[0， π 3 ]

  C．（0， π 3 ]

  D．[ π 3 ， π 2 ）
  组卷：107引用：2难度：0.9

  解析

• 3．已知函数f（x）=

  4

  3

  x³-

  1

  x

  的导函数为f′（x），则f′（x）的最小值为（　　）

  A．1

  B．2

  C．4

  D．8
  组卷：148引用：2难度：0.9

  解析

• 4．若函数f（x）=x³-3x+m恰有2个不同的零点，则实数m的值为（　　）

  A．±2

  B．±1

  C．-2或1

  D．-1或2
  组卷：150引用：2难度：0.9

  解析

• 5．函数f（x）=x+2cosx在区间[0，

  π

  2

  ]上取最小值时，x的值为（　　）

  A．0

  B． π 6

  C． π 3

  D． π 2
  组卷：100引用：4难度：0.9

  解析

• 6．a＞3，则方程x³-ax²+1=0在（0，2）上恰好有（　　）

  A．0个根

  B．1个根

  C．2个根

  D．3个根
  组卷：67引用：5难度：0.9

  解析

• 7．如图是二次函数f（x）=

  1

  2

  x²-bx+c的部分图象，则函数g（x）=ln x+f′（x）的零点所在的区间是（　　）

  A．（ 1 4 ， 1 2 ）

  B．（ 1 2 ，1）

  C．（1，2）

  D．（2，3）
  组卷：140引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

• 21．已知函数y=f（x）=-x³+ax²+b…（a,b∈R）．
  （Ⅰ）当a＞0时，若f（x）满足：y_极小值=1，y_极大值=

  31

  27

  ，试求f（x）的解析式；
  （Ⅱ）若x∈[0，1]时，y=f（x）图象上的任意一点处的切线斜率k满足：|k|≤1，求a的取值范围．
  组卷：39引用：3难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=ax²-ln x.
  （1）求函数的单调区间与最值；
  （2）当a=1时，函数g（x）=1-

  f

  （

  x

  ）

  x

  2

  ，求证：

  ln

  2

  2

  4

  +

  ln

  3

  3

  4

  +…+

  lnn

  n

  4

  ＜

  1

  2

  e

  ．（其中e为自然对数的底数）
  组卷：67引用：1难度：0.3

  解析