2020-2021学年青海省海南州高级中学、贵德中学高二（下）期中数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．若复数z=[（a²-1）i+（a-1）]i为纯虚数，a∈R，则a=（　　）

  A．1

  B．-1

  C．±1

  D．0
  组卷：4引用：1难度：0.8

  解析

• 2．已知点M的极坐标为

  （

  3

  ，-

  5

  π

  3

  ）

  ，下列所给出的四个坐标中能表示点M极坐标的是（　　）

  A． （ 3 ，- π 3 ）

  B． （ 3 ， 4 π 3 ）

  C． （ 3 ，- 2 π 3 ）

  D． （ 3 ， π 3 ）
  组卷：21引用：1难度：0.5

  解析

• 3．曲线f（x）=x²-sinx在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）

  A．y=-x

  B．y=-2x

  C． y = - 1 2 x

  D． y = - 1 3 x
  组卷：468引用：7难度：0.7

  解析

• 4．观察如图图形规律，在其左下角的空格内画上合适的图形为（　　）
  

  	●	▲
  ▲		〇
  	△

  A．

  B．△

  C．

  D．●
  组卷：5引用：1难度：0.7

  解析

• 5．下列函数中，存在极值的函数为（　　）

  A．y=ex

  B．y=lnx

  C． y = 2 x

  D．y=x2-2x
  组卷：60引用：8难度：0.6

  解析

• 6．在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为（　　）

  A．ρcosθ=2	B．ρsinθ=2
  C．ρsin（θ+ π 3 ）=4	D．ρsin（θ- π 3 ）=4
  组卷：211引用：4难度：0.5

  解析

• 7．如图是函数y=f（x）（x∈R）的导函数y=f'（x）的函数图象，则下列关于函数y=f（x）的说法正确的是（　　）

  A．函数y=f（x）的减区间为 （ - ∞ ， 1 2 ） ，增区间为 （ 1 2 ， + ∞ ）

  B．函数y=f（x）在点（-2，f（-2））和点（3，f（3））处的切线斜率相等

  C．f'（0）=2

  D．函数f（x）只有一个极小值点，没有极大值点
  组卷：26引用：4难度：0.5

  解析

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

• 21．共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态．一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：

  租用单车数量x（千辆）	2	3	4	5	8
  每天一辆车平均成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

  根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：

  ̂

  y

  ^（1）=

  4

  x

  +1.1，方程乙：

  ̂

  y

  ^（2）=

  6

  .

  4

  x

  2

  +1.6．
  （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
  ①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：

  ˆ

  e

  i

  =y_i-

  ˆ

  y

  i

  ，

  ˆ

  e

  i

  称为相应于点（x_i，y_i）的残差（也叫随机误差）；

  租用单车数量x（千辆）		2	3	4	5	8
  每天一辆车平均成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
  模型甲	估计值 ˆ y i （1）		2.4	2.1		1.6
  	残差 ˆ e i （1）		0	-0.1		0.1
  模型乙	估计值 ˆ y i （2）		2.3	2	1.9
  	残差 ˆ e i （2）		0.1	0	0

  ②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁及Q₂，并通过比较Q₁，Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
  （2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放．根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入8.4元；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入7.6元．问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）．
  组卷：258引用：3难度：0.1

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• 22．已知函数f（x）=x+（1-a）lnx+

  a

  x

  （a∈R）．
  （1）讨论函数f（x）的单调性；
  （2）当a＞0时，若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．
  组卷：199引用：6难度：0.4

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