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2022-2023学年辽宁省大连市沙河口区格致中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

1．下面的图形是用数学家的名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．
赵爽弦图 B．
笛卡尔心形线
C．
科克曲线 D．
费马螺线
组卷：175引用：6难度：0.9
解析

2．下列说法中，正确的是（　　）

A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件

B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1

C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖

D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得

组卷：451引用：13难度：0.6

解析

3．经过矩形对称中心的任意一条直线，把这个矩形分成两部分，设这两部分的面积分别为S₁和S₂，则S₁与S₂的大小关系是（　　）
A．S₁＞S₂ B．S₁＜S₂ C．S₁=S₂ D．不能确定
组卷：329引用：4难度：0.9
解析
4．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（　　）
A．70° B．75° C．60° D．65°
组卷：1011引用：17难度：0.7
解析
5．如图，在⊙O中，
ˆ
AB
=
ˆ
AC
，∠BAC=50°，则∠AEC的度数为（　　）
A．65° B．75° C．50° D．55°
组卷：565引用：11难度：0.9
解析
6．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O 外 D．无法确定
组卷：450引用：13难度：0.9
解析
7．用配方法解方程x²-2x-3=0时，配方后得到的方程为（　　）
A．（x-1）²=4 B．（x-1）²=-4 C．（x+1）²=4 D．（x+1）²=-4
组卷：370引用：21难度：0.9
解析
8．原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是（　　）
A．100（1-x）²=64 B．64（1-x）²=100
C．100（1-2x）=64 D．64（1-2x）=100
组卷：218引用：9难度：0.7
解析

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五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

25．小飞对浙教版九上配套作业本①第18页第7题温故后进行了推理、拓展与延伸．
（1）温故：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC．
①画出将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到△P′CB；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．（直接写出答案）
（2）推理：若PA=a,PB=b,PC=c,∠APB=135°，请猜想a,b,c之间的关系，并推理说明．
（3）拓展：如图2，点P，Q在正方形ABCD内，连结PA，PB，PC，PQ，DQ，AQ，CQ，若∠PAQ=∠PCQ=45°，试探究BP，PQ，QD之间的关系，并说明理由．
（4）延伸：如图3，四边形ABCD为菱形，∠ABC=∠PAQ=∠PCQ=60°，若BP=6，DQ=8，请直接写出PQ的长．
请帮助小飞解决“温故”、“推理”、“拓展”和“延伸”中的问题．
组卷：272引用：2难度：0.2
解析
26．材料一：法国数学家弗朗索瓦•韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根完全由它的系数决定，当b²-4ac≥0时有两根：x₁=
-
b
+
b
2
-
4
ac
2
a
，
x
2
=
-
b
+
b
2
+
4
ac
2
a
，于是，两根之和为x₁+x₂=
-
b
+
b
2
-
4
ac
2
a
+
-
b
+
b
2
+
4
ac
2
a
=
-
2
b
2
a
=-
b
a
，两根之积x₁•x₂=
-
b
+
b
2
-
4
ac
2
a
•
-
b
+
b
2
+
4
ac
2
a
=
b
2
-
（
b
2
+
4
ac
）
2
4
a
2
=
b
2
-
b
2
+
4
ac
4
a
2
=
c
a
．由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，利用韦达定理可以快速求出两个方程根的关系．
材料二：已知一元二次方程ax²
-
2
bx+c=0（a≠0）的两个根满足|x₁-x₂|=
2
，且a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，若a=c,求∠B的度数．
解题过程如下：x₁+x₂=-
-
2
b
a
=
2
b
a
，x₁•x₂=
c
a
=1．
∵|x₁-x₂|=
2
，|x₁-x₂|²=2．
又∵|x₁-x₂|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=
2
b
2
a
2
-4．
∴
b
2
a
2
=3．
∵a＞0，b＞0，
∴
b
a
=
3
．
如图，过点B作BH⊥AC，则HC=
1
2
AC=
1
2
b.
∵cosC=
HC
BC
=
1
2
b
a
=
3
2
，
∴∠C=30°，∴∠B=120°．
（1）在上题中，将方程改为ax²
-
3
bx+c=0（a≠0），要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么对应条件中的|x₁-x₂|的值是多少？请说明理由．
（2）已知一元二次方程ax²
-
n
bx+c=0（n≥0，a≠0）的两根满足（x₁-x₂）²=2|x₁-x₂|，且a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，若∠A=30°，∠B=45°，求n的值．
组卷：37引用：1难度：0.4
解析