2022-2023学年新疆乌鲁木齐101中高二（上）期末数学试卷

一、选择题（12题每题5分共60分）

• 1．设F₁、F₂分别为双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（　　）

  A． 4 5

  B． 5 4

  C． 3 5

  D． 5 3
  组卷：1046引用：31难度：0.7

  解析

• 2．已知F是椭圆

  C

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为（1，1），则|PQ|+|PF|的最大值为（　　）

  A．3

  B．5

  C． 41

  D．13
  组卷：617引用：9难度：0.7

  解析

• 3．如图，在斜棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC与BD的交点为点M，

  AB

  =

  a

  ，

  AD

  =

  b

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，则

  M

  C

  1

  =（　　）

  A． 1 2 a + 1 2 b + c

  B． - 1 2 a - 1 2 b - c

  C． - 1 2 a + 1 2 b + c

  D． - 1 2 a - 1 2 b + c
  组卷：1440引用：24难度：0.8

  解析

• 4．已知边长为2的等边三角形ABC，D是平面ABC内一点，且满足DB：DC=2：1，则三角形ABD面积的最小值是（　　）

  A． 4 3 （ 3 - 1 ）

  B． 4 3 （ 3 + 1 ）

  C． 4 3 3

  D． 3 3
  组卷：101引用：6难度：0.5

  解析

• 5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为B₁D₁的中点，则直线PB与AD₁所成的角为（　　）

  A． π 2

  B． π 3

  C． π 4

  D． π 6
  组卷：5062引用：39难度：0.7

  解析

• 6．已知x,y∈R，向量

  a

  =

  （

  x

  ,

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  y

  ,

  1

  ）

  ，

  c

  =

  （

  3

  ，-

  6

  ，

  3

  ）

  ，且

  a

  ⊥

  c

  ，

  b

  ∥

  c

  ，则

  |

  a

  +

  b

  |

  =（　　）

  A． 2 2

  B． 2 3

  C．4

  D．3
  组卷：588引用：25难度：0.7

  解析

• 7．若圆x²+y²=1上总存在两个点到点（a,1）的距离为2，则实数a的取值范围是（　　）

  A．（-2 2 ，0）∪（0，2 2 ）	B．（-2 2 ，2 2 ）
  C．（-1，0）∪（0，1）	D．（-1，1）
  组卷：412引用：12难度：0.6

  解析

三、解答题（共65分）

• 20．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=

  1

  2

  AD=1．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
  （1）在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM∥平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；
  （2）若二面角P-CD-A的大小为45°，求P到直线CE的距离．
  组卷：225引用：6难度：0.6

  解析

• 21．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
  
  （1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
  （2）若二面角A-EF-B的大小为

  2

  3

  π

  ，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
  组卷：136引用：14难度：0.6

  解析