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2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷

发布：2024/11/13 8:0:29

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
A
=
{
x
|
x
2
≤
1
4
}
，集合
B
=
{
y
|
y
=
1
-
x
2
}
，则A∩B=（　　）
A．
[
-
1
2
，
1
2
]
B．[-1，1] C．[0，1] D．
[
0
，
1
2
]
组卷：41引用：1难度：0.8
解析
2．等差数列{a_n}中a₁=3，a₁+a₂+a₃=21，则a₃+a₄+a₅=（　　）
A．45 B．42 C．21 D．84
组卷：71引用：2难度：0.9
解析
3．如图是幂函数y=xⁿ在第一象限内的图象，已知n取
1
2
，2，-2，-
1
2
四值，则相应于曲线C₁，C₂，C₃，C₄的n依次为（　　）
A．2，
1
2
，-
1
2
，-2 B．-2，-
1
2
，
1
2
，2
C．-
1
2
，-2，2，
1
2
D．2，
1
2
，-2，-
1
2
组卷：512引用：5难度：0.7
解析
4．已知一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均数是2，方差是
1
3
，那么另一组数据3x₁-2，3x₂-2，3x₃-2，3x₄-2，3x₅-2的平均数和方差分别为（　　）
A．2，
1
3
B．4，3 C．4，
2
3
D．2，1
组卷：621引用：26难度：0.9
解析
5．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P与两定点M，N的距离之比为λ（λ＞0，且λ≠1），则点P的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点M（2，0），点P为圆O：x²+y²=16上的点，若存在x轴上的定点N（t,0）（t＞4）和常数λ，对满足已知条件的点P均有|PM|=λ|PN|，则λ=（　　）
A．1 B．
1
2
C．
1
3
D．
1
4
组卷：55引用：4难度：0.8
解析
6．若仅存在一个实数
t
∈
（
0
，
π
2
）
，使得曲线C：
y
=
sin
（
ωx
-
π
6
）
（
ω
＞
0
）
关于直线x=t对称，则ω的取值范围是（　　）
A．
[
1
3
，
7
3
）
B．
[
4
3
，
10
3
）
C．
（
1
3
，
7
3
]
D．
（
4
3
，
10
3
]
组卷：260引用：6难度：0.7
解析
7．已知一个正三棱锥的高为3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中O'为B'C'的中点，
OA
′
=
3
2
，则此正三棱锥的体积为（　　）
A．
3
B．
3
3
C．
3
4
D．
3
3
4
组卷：158引用：2难度：0.6
解析
8．已知向量
p
=
a
|
a
|
+
b
|
b
|
，其中
a
，
b
均为非零向量，则
|
p
|
的取值范围是（　　）
A．
[
0
，
2
]
B．[0，1] C．（0，2] D．[0，2]
组卷：237引用：5难度：0.7
解析

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四、解答题（本题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

24．已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|=2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx-4．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且∠COD=120°（O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k=1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线OM、ON，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．
组卷：219引用：5难度：0.6
解析
25．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，f（0）＞0，且方程f（x）=0的两根都小于-1，求实数a的取值范围；
（2）若A={2}，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值M（结果用a表示）．
组卷：176引用：2难度：0.5
解析

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A．2， 1 2 ，- 1 2 ，-2	B．-2，- 1 2 ， 1 2 ，2
C．- 1 2 ，-2，2， 1 2	D．2， 1 2 ，-2，- 1 2

2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷

一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A={x|x2≤14}，集合B={y|y=1-x2}，则A∩B=（ ）

2．等差数列{an}中a1=3，a1+a2+a3=21，则a3+a4+a5=（ ）

3．如图是幂函数y=xn在第一象限内的图象，已知n取12，2，-2，-12四值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为（ ）

4．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数和方差分别为（ ）

6．若仅存在一个实数t∈（0，π2），使得曲线C：y=sin（ωx-π6）（ω＞0）关于直线x=t对称，则ω的取值范围是（ ）

7．已知一个正三棱锥的高为3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中O'为B'C'的中点，OA′=32，则此正三棱锥的体积为（ ）

8．已知向量p=a|a|+b|b|，其中a，b均为非零向量，则|p|的取值范围是（ ）

四、解答题（本题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

25．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），集合A={x|f（x）=x}．（1）若A={1，2}，f（0）＞0，且方程f（x）=0的两根都小于-1，求实数a的取值范围；（2）若A={2}，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值M（结果用a表示）．

1．已知集合
A
=
{
x
|
x
2
≤
1
4
}
，集合
B
=
{
y
|
y
=
1
-
x
2
}
，则A∩B=（　　）

2．等差数列{a_n}中a₁=3，a₁+a₂+a₃=21，则a₃+a₄+a₅=（　　）

3．如图是幂函数y=xⁿ在第一象限内的图象，已知n取
1
2
，2，-2，-
1
2
四值，则相应于曲线C₁，C₂，C₃，C₄的n依次为（　　）

4．已知一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均数是2，方差是
1
3
，那么另一组数据3x₁-2，3x₂-2，3x₃-2，3x₄-2，3x₅-2的平均数和方差分别为（　　）

6．若仅存在一个实数
t
∈
（
0
，
π
2
）
，使得曲线C：
y
=
sin
（
ωx
-
π
6
）
（
ω
＞
0
）
关于直线x=t对称，则ω的取值范围是（　　）

7．已知一个正三棱锥的高为3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中O'为B'C'的中点，
OA
′
=
3
2
，则此正三棱锥的体积为（　　）

8．已知向量
p
=
a
|
a
|
+
b
|
b
|
，其中
a
，
b
均为非零向量，则
|
p
|
的取值范围是（　　）

25．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，f（0）＞0，且方程f（x）=0的两根都小于-1，求实数a的取值范围；
（2）若A={2}，求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值M（结果用a表示）．