2023-2024学年广东省广州市三校（铁一、广外、广大）高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合A={x|-1＜x＜3}，B={x∈N|-1＜x≤3}，则A∩B=（　　）

  A．（-1，3）

  B．（-1，2）

  C．{1，2}

  D．{0，1，2}
  组卷：36引用：1难度：0.8

  解析

• 2．设z=

  1

  1

  +

  i

  +i,则|z|=（　　）

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 2

  D．2
  组卷：2369引用：59难度：0.9

  解析

• 3．设某批电子手表正品率为

  3

  4

  ，次品率为

  1

  4

  ，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）等于（　　）

  A． C 2 3 （ 1 4 ） 2 × （ 3 4 ）	B． C 2 3 （ 3 4 ） 2 × （ 1 4 ）
  C． （ 1 4 ） 2 × （ 3 4 ）	D． （ 3 4 ） 2 × （ 1 4 ）
  组卷：406引用：22难度：0.9

  解析

• 4．设

  a

  ，

  b

  为单位向量，

  a

  在

  b

  方向上的投影向量为-

  1

  2

  b

  ，则|

  a

  -2

  b

  |=（　　）

  A． 2

  B． 3

  C． 5

  D． 7
  组卷：1144引用：19难度：0.7

  解析

• 5．设

  a

  =

  （

  1

  3

  ）

  -

  0

  .

  6

  ，

  b

  =

  tan

  （

  -

  130

  °

  ）

  ，

  c

  =

  lo

  g

  1

  .

  3

  0

  .

  4

  ，则a,b,c的大小关系为（　　）

  A．b＜a＜c

  B．a＜c＜b

  C．c＜b＜a

  D．a＜b＜c
  组卷：133引用：4难度：0.7

  解析

• 6．公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则

  3

  csc

  20

  °

  -

  sec

  20

  °

  =（　　）

  A． 3

  B． 2 3

  C．4

  D．8
  组卷：71引用：5难度：0.7

  解析

• 7．双曲线E：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1的一条渐近线与圆C：（x-3）²+y²=4相交于A，B，若△ABC的面积为2，则双曲线E的离心率为（　　）

  A． 3 5 5

  B． 7 5 5

  C． 3 7 7

  D． 11 7 7
  组卷：97引用：3难度：0.6

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  lnx

  +

  1

  x

  -

  mx

  ,

  （

  m

  ∈

  R

  ）

  ．
  （1）讨论函数f（x）的单调性；
  （2）若b＞a＞0，证明：

  lnb

  -

  lna

  b

  -

  a

  ＜

  a

  2

  +

  b

  2

  a

  2

  b

  +

  a

  b

  2
  组卷：194引用：3难度：0.2

  解析

• 22．设动点M与定点F（c,0）（c＞0）的距离和M到定直线l：

  x

  =

  4

  c

  的距离的比是

  c

  2

  ．
  （1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
  （2）当

  c

  =

  2

  时，记动点M的轨迹为Ω，动直线m与抛物线Γ：y²=4x相切，且与曲线Ω交于点A，B．求△AOB面积的最大值．
  组卷：104引用：3难度：0.5

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