2023-2024学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期中数学试卷

一、填空题（本题共12小题，前6题每小题4分，后6题每小题4分，共54分、请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）

• 1．已知等差数列{a_n}满足a₁=1，a₅=5，则公差d=

  ．
  组卷：94引用：2难度：0.8

  解析

• 2．首项为1，公比为

  -

  1

  2

  的无穷等比数列{a_n}的各项和为

  ．
  组卷：179引用：4难度：0.8

  解析

• 3．在直线与平面平行的判定定理中，假设α为平面，a,b为两条不同直线，若要得到b∥α，则需要在条件“a⊂α，b∥a”之外补充的一个条件是

  ．
  组卷：71引用：2难度：0.7

  解析

• 4．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁B与直线B₁C的位置关系是

  ．
  组卷：71引用：2难度：0.8

  解析

• 5．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是D₁D的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为

  ．
  组卷：110引用：5难度：0.9

  解析

• 6．点P为二面角α-l-β内一点，过点P作PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，若∠APB=80°，则二面角α-l-β的度数为

  ．
  组卷：38引用：2难度：0.7

  解析

• 7．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，高为4，则异面直线BD₁与AD所成角的余弦值是

  ．
  组卷：33引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共5小题满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤）

• 20．已知E、F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC、CD的中点，求：
  （1）A₁D与EF所成角的大小；
  （2）二面角C-D₁B₁-C₁的大小；
  （3）点M在棱CD上，若A₁M与平面B₁C₁CB所成角的正弦值为

  19

  19

  ，请判断点M的位置，并说明理由．
  组卷：174引用：4难度：0.6

  解析

• 21．已知集合A={a₁，a₂，a₃…a_n}⊆N^*，其中n∈N且n≥3，a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，若对任意的x,y∈A（x≠y），都有|x-y|≥

  xy

  k

  ，则称集合A具有性质M_k．
  （1）集合A={1，2，a}具有性质M₃，求a的最小值；
  （2）已知A具有性质M₁₅，求证：

  1

  a

  1

  -

  1

  a

  n

  ≥

  n

  -

  1

  15

  ；
  （3）已知A具有性质M₁₅，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．
  组卷：192引用：5难度：0.4

  解析