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2023年湖南省长沙一中高考数学一模试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x∈R|x²＜4}，B={x|3^x＜9}，则（　　）
A．A∩B=B B．A∪B=R C．A∩B=A D．A∪B=A
组卷：47引用：2难度：0.8
解析
2．设
a
∈
R
，
z
=
2
+
ai
i
，则“a＞1”是“
|
z
|
＞
5
”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：275引用：6难度：0.9
解析
3．天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高GT=h（如图①），再于山顶T处悬一直圆环SP且可以转动的回环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得∠OTI=α．由此可以算得地球的半径r=（　　）
A．
hsinα
1
-
sinα
B．
hcosα
1
-
sinα
C．
hsinα
1
-
cosα
D．
hcosα
1
-
cosα
组卷：76引用：3难度：0.7
解析
4．已知函数f（x）的局部图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　）
A．f（x）=
e
1
|
x
|
•sin
π
2
x B．f（x）=
e
1
|
x
|
•cos
π
2
x
C．f（x）=ln|x|•sin
π
2
x D．f（x）=ln|x|•cos
π
2
x
组卷：230引用：9难度：0.7
解析
5．已知
sin
（
α
-
π
6
）
+
cosα
=
3
5
，则
cos
（
2
α
+
π
3
）
=（　　）
A．
-
7
25
B．
7
25
C．
-
24
25
D．
24
25
组卷：1105引用：16难度：0.7
解析
6．已知函数
f
（
x
）
=
sin
（
ωx
-
π
6
）
（
1
＜
ω
＜
2
）
，若存在x₁，x₂∈R，当|x₁-x₂|=2π时，f（x₁）=f（x₂）=0，则函数f（x）的最小正周期为（　　）
A．
2
π
3
B．
4
π
3
C．2π D．4π
组卷：116引用：2难度：0.7
解析
7．设A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且
|
OA
|
=
2
．若存在m,n∈R，使得
m
AB
+
OA
与
n
AB
+
OB
垂直，且
|
（
m
AB
+
OA
）
-
（
n
AB
+
OB
）
|
=
2
，则
|
AB
|
的最小值为（　　）
A．1 B．
3
C．2 D．
2
3
组卷：97引用：2难度：0.5
解析

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四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

21．国球是指在一个国家内广泛开展，并在国际上居于领先地位的球类运动，中国的国球是乒乓球，乒乓球起源于英国的19世纪末．长沙市某社区为了丰富社区老人的退休生活，每年的重阳节定期举行乒乓球比赛．通过资格赛和淘汰赛，该社区的李大爷和张大爷进入决赛争夺冠军，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并赢得冠军．根据以往李大爷和张大爷的比赛胜负数据分析，李大爷和张大爷实力相当，每局获胜的可能性相同，每局比赛相互独立．
（1）求张大爷获得乒乓球比赛冠军的概率；
（2）冠亚军决赛结束后，社区组委会决定进行趣味性和观赏性极强的“花式乒乓球”对抗赛，“花式乒乓球”对抗赛由刘大爷和周大爷进行比赛，比赛采用三局两胜制，即选手率先获得两局胜利时，比赛结束并赢得冠军．刘大爷和周大爷在一局比赛获胜的概率分别为
2
3
，
1
3
，且每局比赛相互独立．比赛开始前，工作人员拿来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃，裁判按照如下规则取球：每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球，记两位大爷决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
组卷：115引用：2难度：0.5
解析
22．已知函数
f
（
x
）
=
e
1
-
x
-
axlnx
（
a
＞
1
4
）
．
（参考数据，e≈2.718，ln2=0.693）
（1）证明：f（x）≤1-（a+1）lnx；
（2）若f（x）≤3-2x,求实数a的取值的集合．
组卷：56引用：2难度：0.5
解析

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A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充要条件	D．既不充分也不必要条件

A． hsinα 1 - sinα	B． hcosα 1 - sinα
C． hsinα 1 - cosα	D． hcosα 1 - cosα

A．f（x）= e 1 \| x \| •sin π 2 x	B．f（x）= e 1 \| x \| •cos π 2 x
C．f（x）=ln\|x\|•sin π 2 x	D．f（x）=ln\|x\|•cos π 2 x

2023年湖南省长沙一中高考数学一模试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x∈R|x2＜4}，B={x|3x＜9}，则（ ）

2．设a∈R，z=2+aii，则“a＞1”是“|z|＞5”的（ ）

4．已知函数f（x）的局部图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（ ）

5．已知sin（α-π6）+cosα=35，则cos（2α+π3）=（ ）

6．已知函数f（x）=sin（ωx-π6）（1＜ω＜2），若存在x1，x2∈R，当|x1-x2|=2π时，f（x1）=f（x2）=0，则函数f（x）的最小正周期为（ ）

7．设A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且|OA|=2．若存在m,n∈R，使得mAB+OA与nAB+OB垂直，且|（mAB+OA）-（nAB+OB）|=2，则|AB|的最小值为（ ）

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

22．已知函数f（x）=e1-x-axlnx（a＞14）．（参考数据，e≈2.718，ln2=0.693）（1）证明：f（x）≤1-（a+1）lnx；（2）若f（x）≤3-2x,求实数a的取值的集合．

1．已知集合A={x∈R|x²＜4}，B={x|3^x＜9}，则（　　）

2．设
a
∈
R
，
z
=
2
+
ai
i
，则“a＞1”是“
|
z
|
＞
5
”的（　　）

4．已知函数f（x）的局部图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　）

5．已知
sin
（
α
-
π
6
）
+
cosα
=
3
5
，则
cos
（
2
α
+
π
3
）
=（　　）

6．已知函数
f
（
x
）
=
sin
（
ωx
-
π
6
）
（
1
＜
ω
＜
2
）
，若存在x₁，x₂∈R，当|x₁-x₂|=2π时，f（x₁）=f（x₂）=0，则函数f（x）的最小正周期为（　　）

7．设A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且
|
OA
|
=
2
．若存在m,n∈R，使得
m
AB
+
OA
与
n
AB
+
OB
垂直，且
|
（
m
AB
+
OA
）
-
（
n
AB
+
OB
）
|
=
2
，则
|
AB
|
的最小值为（　　）

22．已知函数
f
（
x
）
=
e
1
-
x
-
axlnx
（
a
＞
1
4
）
．
（参考数据，e≈2.718，ln2=0.693）
（1）证明：f（x）≤1-（a+1）lnx；
（2）若f（x）≤3-2x,求实数a的取值的集合．