2023-2024学年广东省广州市广雅中学高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

• 1．集合

  A

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  2

  -

  2

  x

  }

  ，

  B

  =

  {

  x

  |

  x

  2

  -

  3

  x

  ≤

  0

  }

  ，则A∩B=（　　）

  A．[0，1]

  B．[1，3]

  C．[0，3]

  D．（-∞，3]
  组卷：32引用：1难度：0.8

  解析

• 2．已知复数

  z

  =

  2

  i

  1

  -

  i

  ，则

  z

  •

  z

  的值为（　　）

  A．0

  B． 2

  C．2

  D．-2
  组卷：33引用：4难度：0.9

  解析

• 3．若cos（α+β）=

  3

  5

  ，sin（

  β

  -

  π

  4

  ）=

  5

  13

  ，α，β∈（0，

  π

  2

  ），则cos（

  α

  +

  π

  4

  ）=（　　）

  A． - 33 65

  B． 33 65

  C． 56 65

  D． - 16 65
  组卷：643引用：9难度：0.6

  解析

• 4．

  f

  （

  x

  ）

  =

  ln （ x 2 + a ） ， x ＜ 0

  f （ x - 2 ） ， x ≥ 0

  ，若f（2023）=1，则正数a的值是（　　）

  A．e+1

  B．e

  C．e-1

  D．1
  组卷：46引用：1难度：0.8

  解析

• 5．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G为△ABC的重心，则

  OG

  •

  （

  OA

  +

  OB

  +

  OC

  ）

  =（　　）

  A． 5 3

  B． 7 3

  C． 10 3

  D． 14 3
  组卷：91引用：2难度：0.7

  解析

• 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若

  acos

  B

  =

  c

  2

  ，且

  |

  CA

  +

  CB

  |

  =

  |

  CA

  -

  CB

  |

  ，则∠A=（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 4

  D． π 2
  组卷：60引用：2难度：0.5

  解析

• 7．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  x

  5

  3

  ln

  |

  x

  |

  在其定义域上的图象大致为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：216引用：6难度：0.8

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在AC的两侧，对角线AC与BD交于点E，BC=CD=2．
  （1）若△ABC中三个内角A，B，C分别对应的边长为a,b,c,△ABC的面积

  S

  =

  3

  12

  （

  a

  2

  +

  b

  2

  -

  c

  2

  ）

  ，

  BD

  =

  3

  BE

  ，求∠BCA和∠BCD；
  （2）若

  AD

  =

  2

  AB

  ，且

  ∠

  BAD

  =

  π

  4

  ，设∠CBD=α，求对角线AC的最大值和此时α的值．
  组卷：101引用：4难度：0.6

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  -

  1

  2

  x

  +

  1

  ，

  g

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  +

  f

  （

  x

  ）

  
  （1）直接判断函数f（x）在定义域上的单调性（无需证明）
  （2）求函数g（x）在定义域上的点个数，并证明．
  （3）若方程f（x）-mf（2x）=0在x∈[1，2]上有两个不等实数根，求实数m的取值范围．
  组卷：36引用：1难度：0.6

  解析