2023-2024学年上海交大附中高二（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．已知

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，

  tanα

  =

  2

  4

  ，则sin2α的值为

  ．
  组卷：45引用：3难度：0.7

  解析

• 2．已知向量

  a

  ，

  b

  满足

  |

  a

  |

  =

  1

  ，

  |

  b

  |

  =

  2

  ，

  |

  a

  +

  2

  b

  |

  =

  5

  ．则

  a

  •

  b

  =

  ．
  组卷：3引用：2难度：0.8

  解析

• 3．设复数z满足z（2+i）=5，则|z-i|=

  ．
  组卷：139引用：2难度：0.8

  解析

• 4．方程x²+y²-2x+4y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是

  ．
  组卷：305引用：4难度：0.7

  解析

• 5．已知

  a

  =

  （

  3

  ，-

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，-

  2

  ）

  ，则向量

  b

  在

  a

  方向上的数量投影为

  ．
  组卷：24引用：1难度：0.8

  解析

• 6．已知{a_n}为等差数列，a_n+1-a_n＞0，a₄=6，且a₂、a₃、a₅成等比数列，则a_n=

  ．
  组卷：53引用：1难度：0.8

  解析

• 7．直线y=kx+1（k∈R）与椭圆

  x

  2

  5

  +

  y

  2

  m

  =

  1

  恒有两个公共点，则m的取值范围为

   

  ．
  组卷：179引用：5难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

• 20．椭圆

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率是

  2

  2

  ，点

  M

  （

  2

  ，

  1

  ）

  是椭圆E上一点，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点．
  （1）求椭圆E的方程；
  （2）当直线l的斜率为1时，求△AOB的面积；
  （3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使

  |

  QA

  |

  |

  QB

  |

  =

  |

  PA

  |

  |

  PB

  |

  恒成立？存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：150引用：3难度：0.3

  解析

• 21．设数集S满足：①任意x∈S，有x≥0；②对任意x,y∈S（x,y可以取相同值），有x+y∈S或|x-y|∈S，则称数集S具有性质P．
  （1）判断数集A={0，1，3，6}和B={0，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
  （2）若数集B={a₁，a₂，…，a_n}且a_i＜a_i+1（i=1，2，…，n-1）具有性质P．
  （i）当n=4时，判断a₁，a₂，a₃，a₄是否一定构成等差数列，说明理由；
  （ⅱ）若n≥100，数集B中的每个元素均为自然数且a_n=2023，求数集B中所有元素的和的所有可能值．
  组卷：26引用：1难度：0.2

  解析