人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（28）

一、解答题（共30小题）

• 1．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=

  1

  2

  x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，

  7

  2

  ）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）若点P的横坐标为m,当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
  （3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．
  
  组卷：4920引用：71难度：0.5

  解析

• 2．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,
  ①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
  ②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：2014引用：71难度：0.5

  解析

• 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-x²+bx+c.点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
  （1）求抛物线的解析式．
  （2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．
  （3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．
  组卷：2183引用：66难度：0.5

  解析

• 4．如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax²+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
  （1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
  （2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax²+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
  组卷：1132引用：60难度：0.5

  解析

• 5．如图，抛物线y=

  1

  2

  x²+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．
  （1）求该抛物线的解析式．
  （2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
  （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
  组卷：2248引用：67难度：0.5

  解析

• 6．如图，抛物线y=-（x-1）²+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（-1，0）．
  （1）求点B，C的坐标；
  （2）判断△CDB的形状并说明理由；
  （3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
  
  组卷：2196引用：65难度：0.5

  解析

• 7．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．
  （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
  （2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
  （3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．
  ①当t为

   

  秒时，△PAD的周长最小？当t为

   

  秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）
  ②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：730引用：59难度：0.5

  解析

• 8．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．
  （1）求直线CD的解析式；
  （2）求抛物线的解析式；
  （3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
  （4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
  组卷：1011引用：60难度：0.5

  解析

• 9．如图，抛物线y=ax²+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．
  （1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
  （2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）
  （3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：897引用：58难度：0.5

  解析

• 10．如图，已知抛物线y=

  1

  2

  x²+bx+c（b,c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（-1，0）．
  （1）b=

   

  ，点B的横坐标为

   

  （上述结果均用含c的代数式表示）；
  （2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=

  1

  2

  x²+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
  （3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．
  ①求S的取值范围；
  ②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有

   

  个．
  组卷：1806引用：63难度：0.5

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一、解答题（共30小题）

• 29．如图，已知抛物线y=-

  1

  4

  x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．
  （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
  （2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
  （3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
  （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：716引用：57难度：0.5

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• 30．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，-

  3

  ），已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
  组卷：714引用：58难度：0.5

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