2023-2024学年北京五中高三（上）期中数学试卷

一．选择题：共10小题，每小题0分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

• 1．已知集合P={x|x²≤4}，M={m}，若P∩M=M，则m的取值范围是（　　）

  A．（-∞，-2]	B．[-2，2]
  C．[2，+∞）	D．（-∞，-2]∪[2，+∞）
  组卷：627引用：5难度：0.7

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• 2．已知m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）

  A．若m∥α，n∥α，则m∥n	B．若m∥α，m∥β，则α∥β
  C．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α	D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
  组卷：257引用：6难度：0.8

  解析

• 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）

  A．y=x3	B．y=-x2+1
  C．y=log2x	D． y = 2 x ， x ≥ 0 2 - x ， x ＜ 0
  组卷：28引用：2难度：0.5

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• 4．已知直线l₁：mx+2y-1=0与直线l₂：x+（m-1）y-m=0平行，则m的值为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：89引用：3难度：0.8

  解析

• 5．已知圆O：x²+y²=1，直线3x+4y-10=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 3

  D．2
  组卷：1183引用：11难度：0.8

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• 6．关于函数f（x）=sinx-xcosx,下列说法正确的是（　　）

  A．f（x）是偶函数

  B．0是f（x）的极值点

  C．f（x）在 （ - π 2 ， π 2 ） 上有且仅有1个零点

  D．f（x）的值域是[-1，1]
  组卷：152引用：2难度：0.5

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• 7．《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为（　　）

  A．5立方丈

  B．20立方丈

  C．40立方丈

  D．80立方丈
  组卷：86引用：3难度：0.7

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三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

• 20．已知函数f（x）=

  lnx

  （

  x

  +

  a

  ）

  2

  ，其中a为常数．
  （1）若a=0，求函数f（x）的极值；
  （2）若函数f（x）在（0，-a）上单调递增，求实数a的取值范围；
  （3）若a=-1，设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x₀，求证：f（x₀）＜-2．
  组卷：1228引用：6难度：0.5

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• 21．对于向量X₀=（a₀，b₀，c₀），若a₀，b₀，c₀三数互不相等，令向量X_i+1=（a_i+1，b_i+1，c_i+1），其中a_i+1=|a_i-b_i|，b_i+1=|b_i-c_i|，c_i+1=|c_i-a_i|，i=0，1，2，3，⋯．
  （1）当X₀=（5，2，1）时，试写出向量X₁₀₀；
  （2）证明：对于任意的i∈N，向量X_i中的三个数a_i，b_i，c_i至多有一个为0；
  （3）若a₀，b₀，c₀∈N，证明：存在正整数t,使得X_t=X_t+3．
  组卷：61引用：3难度：0.2

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