2013-2014学年湖南省益阳市南县一中高三（上）同步练习数学试卷（理科）（普通班）

一、解答题（共12小题，满分48分）

• 1．设数列{a_n} 的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
  （1）求a₁，a₂，a₃的值；
  （2）求证：数列{a_n+2ⁿ}是等比数列
  （3）证明：对一切正整数n,有

  1

  a

  1

  +

  1

  a

  2

  +…+

  1

  a

  n

  ＜

  3

  2

  ．
  组卷：307引用：5难度：0.1

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• 2．已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m,n∈N*都有a_2m+1+a_2n-1=2_m+n-1+2（m-n）²
  （1）设b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N*）证明：{b_n}是等差数列；
  （2）设c_n=（a_2n+1-a_2n-1）q^n-1（q≠0，n∈N*），求数列{c_n}的前n项和S_n．
  组卷：32引用：1难度：0.9

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• 3．在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k．
  （1）若q_k=2（k∈N^*），求a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1；
  （2）若对任意的k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，设b_k=

  1

  q

  k

  -

  1

  ．
  ①求证：{b_k}成等差数列，并指出其公差；
  ②若d₁=2，试求数列{d_k}的前k项的和D_k．
  组卷：224引用：12难度：0.5

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• 4．已知数列{a_n}的首项a₁=a,S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n≥2，n∈N^*．
  （1）若数列{a_n}是等差数列，求a的值；
  （2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a_n}是递增数列．
  组卷：282引用：15难度：0.3

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一、解答题（共12小题，满分48分）

• 11．已知等差数列{a_n}的首项为a,公差是b；等比数列{b_n}的首项是b,公比是a,其中a、b都是正整数，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
  （1）求a的值．
  （2）若对于{a_n}、{b_n}，存在关系式a_m+2=b_n，试求数列{a_n}前n（n≥2）项中所有不同两项的乘积之和．
  组卷：14引用：2难度：0.5

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• 12．设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{a_n}：a₁是自然数，a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
  （Ⅰ）求f（99），f（2014）；
  （Ⅱ）若a₁≥100，求证：a₁＞a₂；
  （Ⅲ）当a₁＜1000时，求证：存在m∈N^*，使得a_3m=a_2m．
  组卷：120引用：2难度：0.1

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