2022-2023学年广东省深圳中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知复数

  z

  =

  2

  -

  5

  i

  i

  ，则z的虚部为（　　）

  A．5

  B．-5

  C．2

  D．-2
  组卷：107引用：2难度：0.9

  解析

• 2．下列结论中，正确的是（　　）

  A．零向量只有大小，没有方向

  B．若 AB ∥ CD ， AB ∥ EF ，则 CD ∥ EF

  C．对任一向量 a ， | a | ＞ 0 总是成立的

  D． | AB | = | BA |
  组卷：214引用：1难度：0.7

  解析

• 3．若

  cos

  2

  α

  =

  -

  7

  25

  ，

  0

  ＜

  α

  ＜

  π

  2

  ，则cosα等于（　　）

  A． 4 5

  B． - 4 5

  C． 3 5

  D． - 3 5
  组卷：334引用：3难度：0.9

  解析

• 4．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  3

  2

  sin

  2

  x

  +

  1

  2

  cos

  2

  x

  的最小正周期和振幅分别是（　　）

  A．π，1

  B．π，2

  C．2π，1

  D．2π，2
  组卷：202引用：1难度：0.7

  解析

• 5．已知M，N，P，Q是平面内四个互不相同的点，

  a

  ，

  b

  为不共线向量，

  MN

  =

  a

  +

  5

  b

  ，

  NP

  =

  -

  2

  （

  a

  -

  4

  b

  ）

  ，

  PQ

  =

  3

  （

  a

  -

  b

  ）

  ，则（　　）

  A．M，N，P三点共线	B．M，N，Q三点共线
  C．M，P，Q三点共线	D．N，P，Q三点共线
  组卷：323引用：5难度：0.7

  解析

• 6．已知α，β都为锐角，

  cosα

  =

  12

  13

  ，

  cos

  （

  α

  +

  β

  ）

  =

  4

  5

  ，则cosβ等于（　　）

  A． 63 65

  B． - 63 65

  C． 33 65

  D． - 33 65
  组卷：276引用：3难度：0.7

  解析

• 7．若tanθ=-2，则

  sinθ

  （

  1

  +

  sin

  2

  θ

  ）

  sinθ

  +

  cosθ

  =（　　）

  A． - 6 5

  B． 2 5

  C． - 2 5

  D． 6 5 或 - 2 5
  组卷：538引用：1难度：0.8

  解析

四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知tanα，tanβ是方程x²-4px-3=0的两个实根，且p＞0．
  （1）若p=1，求tan（α+β）的值；
  （2）用p表示tan（α+β）[cos2αcos2β+sin²（α-β）]，并求其最大值．
  组卷：111引用：1难度：0.6

  解析

• 22．悬索桥的外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cosh（x）以及双曲正弦函数sinh（x）有关．已知f（x）=cosh（x）是R上的偶函数，g（x）=sinh（x）是R上的奇函数，满足f（x）+g（x）=e^x，其中e是自然对数的底数．
  （1）求f（x）和g（x）的解析式；
  （2）已知x∈[0，π]．
  （i）解不等式e^cosx-e^-sinx≥e^sinx-e^-cosx；
  （ii）设（i）中不等式的解集为D，若∀x∈D，f（2cosx）-ag（cosx）+1≥0恒成立，求a的取值范围．（注：

  e

  2

  2

  ＜

  1

  +

  2

  ＜

  e

  ）．
  组卷：75引用：1难度：0.6

  解析