2022年湖南省长沙一中高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

• 1．设集合A，B满足A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2，4}，A={2，3，4，5}，则B=（　　）

  A．{2，4，5，6}

  B．{1，2，4，6}

  C．{2，4，6}

  D．{1，2，4}
  组卷：168引用：8难度：0.8

  解析

• 2．已知a,b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊥α，α⊥β，则“a⊥b”是“b⊥β”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分又不必要条件
  组卷：241引用：4难度：0.7

  解析

• 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况、统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例；得到如下饼图：
  
  则下面结论中不正确的是（　　）

  A．新农村建设后，种植收入减少

  B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

  C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

  D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
  组卷：90引用：21难度：0.7

  解析

• 4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著．全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（　　）

  A． 1 3

  B． 2 3

  C． 1 6

  D． 5 6
  组卷：352引用：11难度：0.7

  解析

• 5．已知

  sin

  （

  θ

  -

  π

  4

  ）

  =

  2

  2

  3

  ，则sin2θ的值为（　　）

  A． 7 9

  B． - 7 9

  C． 2 9

  D． - 2 9
  组卷：281引用：5难度：0.7

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• 6．若函数f（x+1）为偶函数，对任意x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁≠x₂，都有（x₂-x₁）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则有（　　）

  A． f （ 1 3 ） ＜ f （ 3 2 ） ＜ f （ 2 3 ）	B． f （ 2 3 ） ＜ f （ 3 2 ） ＜ f （ 1 3 ）
  C． f （ 2 3 ） ＜ f （ 1 3 ） ＜ f （ 3 2 ）	D． f （ 3 2 ） ＜ f （ 2 3 ） ＜ f （ 1 3 ）
  组卷：911引用：5难度：0.7

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• 7．如图，F₁，F₂是双曲线l：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q．若

  F

  1

  Q

  =5

  F

  1

  P

  ，M为PQ的中点，且

  F

  1

  Q

  ⊥

  F

  2

  M

  ，则双曲线的离心率为（　　）

  A． 14 2

  B． 7 2

  C． 2

  D．2
  组卷：426引用：7难度：0.7

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  3

  2

  ，左、右焦点分别为F₁，F₂，A为C的上顶点，且△AF₁F₂的周长为

  4

  +

  2

  3

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，|OM|²+|ON|²恒为定值，并求此时△MON面积的最大值．
  组卷：308引用：4难度：0.5

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• 22．已知函数f（x）=（x+b）（e^x-a）（b＞0）在（-1，f（-1））处的切线l方程为（e-1）x+ey+e-1=0．
  （1）求a,b,并证明函数y=f（x）的图象总在切线l的上方（除切点外）；
  （2）若方程f（x）=m有两个实数根x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：

  x

  1

  -

  x

  2

  ≤

  1

  +

  m

  （

  1

  -

  2

  e

  ）

  1

  -

  e

  ．
  组卷：174引用：1难度：0.3

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