2022-2023学年福建省福州市鼓楼十五中、格致中学鼓山分校、铜盘中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．复数z=

  i

  1

  -

  i

  （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：108引用：12难度：0.9

  解析

• 2．已知向量

  m

  =（2a,-1），

  n

  =（3，a+2），若

  m

  ⊥

  n

  ，则a=（　　）

  A．1

  B． 3 5

  C． 1 3

  D． 2 5
  组卷：227引用：5难度：0.8

  解析

• 3．设向量

  a

  =

  （

  m

  ,

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  m

  +

  1

  ）

  ，且

  a

  与

  b

  的方向相反，则实数m的值为（　　）

  A．-2或1

  B．-1

  C．-2

  D．-1或1
  组卷：132引用：3难度：0.8

  解析

• 4．在△ABC中，若AD为BC边上的中线，点E在AD上，且AE=2ED，则

  EB

  =（　　）

  A． 2 3 AB - 1 3 AC

  B． 2 3 AC - 1 3 AB

  C． 7 6 AB - 5 6 AC

  D． 7 6 AC - 5 6 AB
  组卷：384引用：15难度：0.8

  解析

• 5．设向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  cosθ

  ）

  ，

  b

  =

  （

  sin

  2

  θ

  ，-

  cosθ

  ）

  ，则“

  a

  ⊥

  b

  ”是“

  tanθ

  =

  1

  2

  ”的（　　）条件．

  A．充分不必要	B．必要不充分
  C．充要	D．既不充分也不必要
  组卷：51引用：5难度：0.7

  解析

• 6．已知向量

  a

  ，

  b

  满足|

  a

  |=5，|

  b

  |=6，

  a

  •

  b

  =-6，则cos＜

  a

  ，

  a

  +

  b

  ＞=（　　）

  A．- 31 35

  B．- 19 35

  C． 17 35

  D． 19 35
  组卷：8171引用：38难度：0.6

  解析

• 7．已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设

  AD

  =

  λ

  AB

  +

  μ

  AC

  （λ，μ∈R），则

  λ

  μ

  =（　　）

  A． 2 3 3

  B． 3 3

  C．3

  D． 2 3
  组卷：242引用：6难度：0.7

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，在梯形ABCD，AB∥CD，

  ∠

  BAD

  =

  π

  3

  ，AB=AD=2，CD=3，

  AE

  =

  λ

  AB

  ．
  （1）若

  AC

  ⊥

  DE

  ，求λ的值；
  （2）若

  λ

  =

  1

  2

  ，求

  AC

  与

  DE

  的夹角的正切值．
  组卷：110引用：3难度：0.7

  解析

• 22．《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量AB=BC=CD=2，AD=2

  2

  ．
  （1）霍尔顿发现无论BD多长，

  2

  cosA-cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
  （2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD与△BCD的面积分别为S₁和S₂，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求

  S

  2

  1

  +

  S

  2

  2

  的最大值．
  组卷：26引用：4难度：0.6

  解析