2023-2024学年上海市普陀区宜川中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．计算：

  lim

  n

  →∞

  （

  n

  ∑

  i

  =

  1

  1

  3

  n

  ）

  =

  ．
  组卷：21引用：2难度：0.7

  解析

• 2．已知集合A={y|y=4-x²，x∈R}，

  B

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  x

  +

  1

  ，

  x

  ∈

  R

  }

  ，则A∩B=

  ．
  组卷：70引用：5难度：0.7

  解析

• 3．二项式（x-1）⁷的展开式中，系数最大的项为

  ．
  组卷：59引用：2难度：0.8

  解析

• 4．函数f（x）=x²e^x，则f′（1）=

   

  ．
  组卷：133引用：3难度：0.7

  解析

• 5．已知复数z满足|z+4-3i|=2（i为虚数单位）．则|z|的最大值为

   

  ．
  组卷：57引用：4难度：0.7

  解析

• 6．设x,y均为正实数，且2x+5y=20，则lgx+lgy的最大值为

  ．
  组卷：78引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知直线l：y=2x-10与双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为

  ．
  组卷：174引用：3难度：0.6

  解析

三、解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分）

• 20．已知椭圆Γ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，F₁，F₂为左右焦点，直线l过左焦点F₁与椭圆交于A，B两点，其中A在第一象限，记

  c

  =

  a

  2

  -

  b

  2

  ，A（x₀，y₀），B（x₁，y₁）．
  （1）若椭圆Γ的离心率为

  1

  2

  ，三角形F₁F₂A的周长为6，求椭圆Γ的方程；
  （2）求证：

  （

  a

  2

  +

  c

  2

  ）

  （

  x

  0

  +

  x

  1

  ）

  +

  2

  c

  x

  0

  x

  1

  +

  2

  a

  2

  c

  =

  0

  ；
  （3）直线AF₂与椭圆交于另一点C（x₂，y₂），若b=c=1，求y₁-y₂的最大值．​
  组卷：70引用：1难度：0.3

  解析

• 21．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t,使得f（t+2）=f（t）+f（2）．
  （1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；
  （2）若

  f

  （

  x

  ）

  =

  lg

  a

  x

  2

  +

  2

  属于集合M，求实数a的取值范围；
  （3）若f（x）=2^x+bx²，求证：对任意实数b,都有f（x）∈M．
  组卷：245引用：5难度：0.3

  解析