2023-2024学年湖南省常德一中高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

• 1．直线3x+2y-1=0的一个方向向量是（　　）

  A．（2，-3）

  B．（2，3）

  C．（-3，2）

  D．（3，2）
  组卷：1874引用：41难度：0.9

  解析

• 2．设

  a

  =（1，-2，3），

  b

  =（-3，1，2），k

  a

  +

  b

  与

  b

  垂直，则k等于（　　）

  A．6

  B．14

  C．-14

  D．-6
  组卷：137引用：6难度：0.8

  解析

• 3．已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为

  2

  3

  ，焦点到渐近线的距离为

  2

  ，则双曲线的方程为（　　）

  A． x 2 2 - y 2 = 1

  B． x 2 - y 2 2 = 1

  C． y 2 - x 2 2 = 1

  D． y 2 2 - x 2 = 1
  组卷：133引用：9难度：0.8

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• 4．设O-ABC是正三棱锥，G₁是△ABC的重心，G是OG₁上的一点，且OG=3GG₁，若

  OG

  =

  x

  OA

  +

  y

  OB

  +

  z

  OC

  ，则x+y+z=（　　）

  A． 1 4

  B． 1 2

  C． 3 4

  D．1
  组卷：295引用：11难度：0.7

  解析

• 5．若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x²+y²+4x+2y+1=0的周长，则（a-2）²+（b-2）²的最小值为（　　）

  A． 5

  B．5

  C．2 5

  D．10
  组卷：1105引用：32难度：0.9

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• 6．过点P（0，3）的直线l与圆C：（x-2）²+（y-3）²=4交于A，B两点，则当∠CAB=30°时，直线l的斜率为（　　）

  A．± 3 3

  B． 3 3

  C． ± 3

  D． 3
  组卷：74引用：5难度：0.5

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• 7．在如图3的正方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（　　）

  A． 2 2

  B． 2

  C． 4 3

  D． 3 4
  组卷：474引用：5难度：0.5

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四、解答题（共6个大题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）

• 21．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为CD的中点．把△ADE沿AE翻折，使得平面ADE⊥平面ABCE．
  
  （Ⅰ）求证：AD⊥BE；
  （Ⅱ）求BD所在直线与平面DEC所成角的正弦值．
  组卷：218引用：2难度：0.5

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• 22．已知椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的离心率为

  1

  2

  ，且其长轴长与焦距之和为6，直线y=k₁x,y=k₂x与椭圆E分别交于点A，B，C，D，且k₁+k₂=-12．
  （1）求椭圆E的标准方程；
  （2）求四边形ACBD面积的最大值．
  组卷：34引用：1难度：0.5

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