人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（18）

一、填空题（共1小题）

• 1．如图，已知直线y=-

  3

  4

  x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=-

  1

  2

  x²+2x+5上的一个动点，其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=-

  3

  4

  x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是

  ．
  组卷：3775引用：73难度：0.5

  解析

二、解答题（共29小题）

• 2．已知：抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
  （1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；
  （2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．
  ①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；
  ②设动点A的坐标为（a,b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
  组卷：1620引用：53难度：0.5

  解析

• 3．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点D的坐标为（1，-

  9

  2

  ），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m.
  （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式；
  （2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；
  （3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2180引用：51难度：0.5

  解析

• 4．如图，已知抛物线y=-

  1

  2

  x²+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
  （1）直接写出抛物线的解析式：

  ；
  （2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
  （3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：4260引用：61难度：0.5

  解析

• 5．一次函数y=

  3

  4

  x的图象如图所示，它与二次函数y=ax²-4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．
  （1）求点C的坐标；
  （2）设二次函数图象的顶点为D．
  ①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
  ②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．
  组卷：3448引用：55难度：0.5

  解析

• 6．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．
  （1）∠OBA=

  °．
  （2）求抛物线的函数表达式．
  （3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？
  组卷：2324引用：52难度：0.5

  解析

• 7．如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x²的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m,n（m＜0，n＞0）．
  （1）当m=-1，n=4时，k=

  ，b=

  ；
  当m=-2，n=3时，k=

  ，b=

  ；
  （2）根据（1）中的结果，用含m,n的代数式分别表示k与b,并证明你的结论；
  （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：
  如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．
  ①当m=-3，n＞3时，求

  S

  △

  ACO

  S

  四边形

  AOED

  的值（用含n的代数式表示）；
  ②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为

  ；
  当四边形AOED为正方形时，m=

  ，n=

  ．
  
  组卷：1890引用：50难度：0.5

  解析

• 8．抛物线y=

  1

  4

  x²-

  3

  2

  x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．
  （1）求点A，B，C的坐标；
  （2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．
  ①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，

  1

  OP

  +

  1

  ED

  的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
  ②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2338引用：53难度：0.5

  解析

• 9．在平面直角坐标系中，已知y=-

  1

  2

  x²+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
  （1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
  （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为

  2

  时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
  （3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：1986引用：51难度：0.5

  解析

• 10．如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=-x²+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=

  1

  2

  x刻画．
  （1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
  （2）小球的落点是A，求点A的坐标；
  （3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
  （4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
  组卷：3291引用：64难度：0.5

  解析

二、解答题（共29小题）

• 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）²+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q，以PQ为边作Rt△PQF，使∠PQF=90°，点F在点Q的下方，且QF=1．设线段PQ的长度为d,点P的横坐标为m.
  （1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
  （2）求d与m之间的函数关系式．
  （3）当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，求d的值．
  （4）以OB为边作等腰直角三角形OBD，当0＜m＜3时，直接写出点F落在△OBD的边上时m的值．
  组卷：2202引用：50难度：0.5

  解析

• 30．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5

  5

  ，且

  OD

  OE

  =

  4

  3

  ，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=-

  1

  16

  x²+

  1

  2

  x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
  （1）求证：△ABD∽△ODE；
  （2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
  （3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．
  组卷：1926引用：51难度：0.5

  解析