2021-2022学年上海市嘉定一中高二（上）期末数学试卷

一、填空题。（本大题满分36分，本大题共有12题）

• 1．从{1，2，3，4}中随机选一个数a,从{1，2，3}中随机选取一个数b,则b＞a的概率是

   

  ．
  组卷：41引用：6难度：0.7

  解析

• 2．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AA₁，AB的中点，则EF与面A₁C₁CA所成的角是：

  ．
  组卷：39引用：3难度：0.7

  解析

• 3．已知三角棱O-ABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MN=2GN，设

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，则

  OG

  =

  （用基底（

  a

  ，

  b

  ，

  c

  ）表示）
  组卷：110引用：2难度：0.7

  解析

• 4．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是C₁C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A₁B₁上的任意点，则直线BM与OP所成的角为

  ．
  组卷：155引用：14难度：0.7

  解析

• 5．已知一组数据4，2a,3-a,5，7的平均数为4，则这组数的方差是
  组卷：118引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+n,则a_n=

  ．
  组卷：77引用：9难度：0.7

  解析

• 7．对于空间三条直线，有下列四个条件：
  ①三条直线两两相交且不共点：
  ②三条直线两两平行；
  ③三条直线共点；
  ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
  其中，使三条直线共面的充分条件有

  ．
  组卷：76引用：7难度：0.7

  解析

三、解答题。（本大题满分52分，本大题共有5题）

• 20．为了求一个棱长为

  2

  的正四面体的体积，某同学设计如下解法．
  解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体ACB₁D₁为棱长是

  2

  的正四面体，且有

  V

  四面体

  AC

  B

  1

  D

  1

  =

  V

  正方体

  -

  V

  B

  -

  AC

  B

  1

  -

  V

  A

  1

  -

  A

  B

  1

  D

  1

  -

  V

  C

  1

  -

  B

  1

  C

  D

  1

  -

  V

  D

  -

  AC

  D

  1

  =

  1

  3

  V

  正方体

  =

  1

  3

  ．
  
  （1）类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为

  5

  ，

  13

  ，

  10

  ，求此四面体的体积：
  （2）对棱分别相等的四面体ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
  （3）有4条长为2的线段和2条长为m的线段，用这6条线段作为棱且长度为m的线段不相邻，构成一个三棱锥，问m为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？
  [参考公式：三元均值不等式

  3

  abc

  ≤

  a

  +

  b

  +

  c

  3

  （

  a

  ,

  b

  ,

  c

  ＞

  0

  ）

  及变形

  abc

  ≤

  （

  a

  +

  b

  +

  c

  3

  ）

  3

  （

  a

  ,

  b

  ,

  c

  ＞

  0

  ）

  ，当且仅当a=b=c时取得等号]
  组卷：119引用：3难度：0.4

  解析

• 21．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1-2S_n=1（n∈N*）
  （1）求证：数列{a_n}为等比数列；
  （2）若数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=

  b

  n

  2

  +

  1

  a

  n

  +

  1

  ．
  ①求数列{b_n}的通项公式；
  ②是否存在正整数n,使得

  n

  ∑

  i

  =

  1

  b

  i

  =4-n成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：152引用：13难度：0.7

  解析