2021-2022学年江苏省常州一中高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．直线l经过原点O，且它的倾斜角是直线

  y

  =

  1

  3

  x

  的倾斜角的两倍，则l的方程是（　　）

  A．y=x

  B． y = 2 3 x

  C． y = 3 x

  D． y = - 3 x
  组卷：119引用：5难度：0.7

  解析

• 2．抛物线

  y

  =

  4

  3

  x

  2

  的焦点坐标为（　　）

  A． （ 0 ， 1 3 ）

  B． （ 1 3 ， 0 ）

  C． （ 0 ， 3 16 ）

  D． （ 0 ， 2 3 ）
  组卷：164引用：12难度：0.7

  解析

• 3．若直线ax+y-a+1=0与直线（a-2）x-3y+a=0垂直，则实数a的值为（　　）

  A．-1或3

  B．1或-3

  C．-1或-3

  D．1或3
  组卷：290引用：9难度：0.8

  解析

• 4．若数列{a_n}满足a₁=15，且3a_n+1=3a_n-2，则使a_k•a_k+1＜0的k值为（　　）

  A．22

  B．21

  C．24

  D．23
  组卷：104引用：9难度：0.9

  解析

• 5．已知直线x-y+m=0（m∈R）与圆C：（x-2）²+（y-1）²=4交于A，B两点，C为圆心，当△ABC的面积最大时，实数m的值为（　　）

  A．±2

  B．-3或1

  C．0或1

  D．-1或3
  组卷：266引用：3难度：0.5

  解析

• 6．直线y=x-1过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|=（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：266引用：10难度：0.6

  解析

• 7．直线y=x+b与曲线x=-

  2

  -

  y

  2

  有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是（　　）

  A． - 2 ≤ b ≤ 2	B．b=2
  C． - 2 ≤ b ＜ 2 或b=2	D． - 2 ＜ b ≤ 2 或b=2
  组卷：87引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知点P在圆O：x²+y²=6上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足

  （

  1

  -

  3

  ）

  OQ

  =

  OP

  -

  3

  OM

  ．
  （1）求动点M的轨迹方程E；
  （2）过点（0，1）的动直线l与曲线E交于A，B两点，问：是否存在定点D，使

  DA

  •

  AB

  +

  （

  DA

  ）

  2

  的值是定值？若存在，求出点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
  组卷：236引用：3难度：0.4

  解析

• 22．椭圆

  C

  1

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  经过点E（1，1），其右焦点为抛物线

  C

  2

  ：

  y

  2

  =

  2

  6

  x

  的焦点F；直线l与椭圆C₁交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点．
  （1）求椭圆C₁的方程；
  （2）若过原点的直线m与椭圆C₁交于C，D两点，且

  OC

  =

  t

  （

  OA

  +

  OB

  ）

  ，求四边形ACBD面积的范围
  组卷：41引用：4难度：0.3

  解析