2023-2024学年北京四中高三（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

• 1．已知集合A={x|-5＜x≤1}，B={x|x²≤9}，则A∪B=（　　）

  A．[-3，1）

  B．[-3，1]

  C．（-5，3]

  D．[-3，3]
  组卷：709引用：6难度：0.8

  解析

• 2．若复数z=（3-i）（1+i），则|z|=（　　）

  A． 2 2

  B． 2 5

  C． 10

  D． 2 10
  组卷：62引用：3难度：0.8

  解析

• 3．化简

  sin

  （

  5

  π

  2

  +

  α

  ）

  cos

  （

  π

  -

  α

  ）

  =（　　）

  A．tanα

  B．-tanα

  C．1

  D．-1
  组卷：656引用：1难度：0.8

  解析

• 4．下列函数中，值域为（1，+∞）的是（　　）

  A． y = 1 sinx

  B． y = x + 1

  C．y=lg（|x|+1）

  D．y=2x+1
  组卷：94引用：3难度：0.8

  解析

• 5．函数y=sin2x的图像向右平移φ（φ＞0）个单位后经过点

  （

  π

  3

  ，

  3

  2

  ）

  ，则φ的最小值为（　　）

  A． π 12

  B． π 6

  C． π 3

  D． 5 π 6
  组卷：166引用：1难度：0.8

  解析

• 6．若a＞1，则

  4

  a

  +

  1

  a

  -

  1

  的最小值为（　　）

  A．4

  B．6

  C．8

  D．无最小值
  组卷：479引用：8难度：0.7

  解析

• 7．已知函数f（x）=

  5

  x

  -

  lo

  g

  3

  x,在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）

  A．（2，3）

  B．（3，4）

  C．（4，5）

  D．（5，6）
  组卷：296引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题：（本大题共6小题，共85分）

• 20．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  lnx

  x

  +

  a

  （

  x

  2

  -

  1

  ）

  ．
  （Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
  （Ⅱ）当a=1时，求f（x）在[1，+∞）上的最小值；
  （Ⅲ）若f（x）在（1，e）上存在零点，求a的取值范围．
  组卷：431引用：8难度：0.2

  解析

• 21．已知集合S={a₁，a₂，…，a_n}（n≥3），集合T⊆{（x,y）|x∈S，y∈S，x≠y}，且满足∀a_i，a_j∈S（i,j=1，2，…，n,i≠j），（a_i，a_j）∈T与（a_j，a_i）∈T恰有一个成立．对于T定义

  d

  T

  （

  a

  ,

  b

  ）

  =

  1 ， （ a , b ） ∈ T

  0 ， （ b , a ） ∈ T

  ，以及

  l

  T

  （

  a

  i

  ）

  =

  n

  ∑

  j

  =

  1

  ，

  j

  ≠

  i

  d

  T

  （

  a

  i

  ，

  a

  j

  ）

  ，其中i=1，2，…，n.
  例如l_T（a₂）=d_T（a₂，a₁）+d_T（a₂，a₃）+d_T（a₂，a₄）+…+d_T（a₂，a_n）．
  （Ⅰ）若n=4，（a₁，a₂），（a₃，a₂），（a₂，a₄）∈T，求l_T（a₂）的值及l_T（a₄）的最大值；
  （Ⅱ）从l_T（a₁），…，l_T（a_n）中任意删去两个数，记剩下的数的和为M，求M的最小值（用n表示）；
  （Ⅲ）对于满足l_T（a_i）＜n-1（i=1，2，…，n）的每一个集合T，集合S中是否都存在三个不同的元素e,f,g,使得d_T（e,f）+d_T（f,g）+d_T（g,e）=3恒成立？请说明理由．
  组卷：78引用：1难度：0.5

  解析