2022-2023学年上海市嘉定一中高二（上）月考数学试卷（12月份）

一、填空题

• 1．已知平面向量

  a

  =（1，1），

  b

  =（1，-1），则向量

  1

  2

  a

  -

  3

  2

  b

  =

  ．
  组卷：81引用：14难度：0.7

  解析

• 2．已知数列{a_n}为等差数列，a₆=9，d=1，则a₁=

  ．
  组卷：40引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知

  α

  ∈

  （

  π

  2

  ，

  π

  ）

  ，sinα=

  5

  5

  ，则sin2α=

  ．
  组卷：6引用：2难度：0.8

  解析

• 4．如图，以长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若

  D

  B

  1

  的坐标为（4，3，2），则

  A

  C

  1

  的坐标是

  ．
  组卷：1102引用：26难度：0.7

  解析

• 5．已知

  a

  ，

  b

  是两个非零向量，且|

  a

  |=|

  b

  |=|

  a

  -

  b

  |，则

  a

  与

  a

  +

  b

  的夹角为

  ．
  组卷：97引用：3难度：0.6

  解析

• 6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=

  3

  ，则异面直线AD₁与DB₁所成角的余弦值为

  ．
  组卷：237引用：12难度：0.7

  解析

• 7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为

  ．
  组卷：1104引用：49难度：0.7

  解析

三、解答题

• 20．类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角P-ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ．
  
  （1）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°，∠BAC=45°，求∠A₁AB的余弦值；
  （2）当α、

  β

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  时，证明以上三面角余弦定理；
  （3）如图3，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中侧面ABB₁A₁，BCC₁B₁，ACC₁A₁的面积分别为S₁，S₂，S₃，各侧面所对面所对应的三个二面角分别记为θ₁，θ₂，θ₃，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明．
  组卷：52引用：2难度：0.4

  解析

• 21．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P_n，所有项的和记为S_n．
  （1）求P₁、P₂；
  （2）若P_n≥2023，求n的最小值；
  （3）是否存在实数a、b、c,使得数列{S_n}为等比数列？若存在，求a、b、c满足的条件；若不存在，说明理由．
  组卷：32引用：2难度：0.6

  解析