2023-2024学年上海市黄浦区格致中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题：（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题4分，满分54分）

• 1．已知全集U=R，集合

  A

  =

  {

  x

  |

  x

  -

  1

  x

  ≥

  0

  ，

  x

  ∈

  R

  }

  ，则A=

  ．
  组卷：4引用：1难度：0.7

  解析

• 2．已知复数z=1+i（i是虚数单位），则|1-iz|=

  ．
  组卷：85引用：3难度：0.7

  解析

• 3．若角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P（-3，4），则cos2α=

  ．
  组卷：48引用：1难度：0.8

  解析

• 4．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2 x ， （ x ≤ 0 ）

  x + 1 x （ x ＞ 0 ）

  ，则函数f（x）的值域为

  ．
  组卷：114引用：3难度：0.8

  解析

• 5．有一列正方体，棱长组成以1为首项、

  1

  2

  为公比的等比数列，体积分别记为V₁，V₂，…，V_n，…，则

  lim

  n

  →∞

  （V₁+V₂+…+V_n）=

  ．
  组卷：395引用：5难度：0.7

  解析

• 6．已知△ABC的角A、B、C对应边长分别为a、b、c,a=4，b=5，c=6，则sinA=

  ．
  组卷：242引用：5难度：0.7

  解析

• 7．已知向量

  a

  ，

  b

  满足

  |

  a

  |

  =

  3

  ，

  |

  b

  |

  =

  4

  ，

  |

  a

  +

  2

  b

  |

  =

  7

  ，则

  a

  与

  b

  的夹角为

  ．
  组卷：86引用：1难度：0.8

  解析

三、解答题：（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

• 20．在直角坐标平面中，已知点P₁（2，1），

  P

  2

  （

  2

  2

  ，2），…，

  P

  n

  （

  2

  n

  ，n），…，其中n是正整数．对平面上的任意一点 A₀，记A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，…，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点，…．
  （1）设A₀（a,b），求向量

  A

  0

  A

  2

  的坐标；
  （2）对任意偶数n（n≥2），试问：

  P

  n

  -

  1

  P

  n

  和

  A

  n

  -

  2

  A

  n

  之间有怎样的关系；
  （3）对任意偶数n（n≥2），用n表示向量

  A

  0

  A

  n

  的坐标．
  组卷：35引用：1难度：0.5

  解析

• 21．设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=f（x）的图像．若过点P恰能作曲线Γ的k（k∈N）条切线，则称P是函数y=f（x）的“k度点”．
  （1）判断点O（0，0）是否为函数y=e^x的1度点，请说明理由；
  （2）若点

  B

  （

  -

  π

  2

  ，

  π

  ）

  是

  g

  （

  x

  ）

  =

  cosx

  （

  -

  π

  2

  ＜

  x

  ＜

  π

  2

  ）

  的“k度点”，求自然数k的值；
  （3）求函数y=x³+x的全体2度点构成的集合．
  组卷：89引用：1难度：0.2

  解析