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2023-2024学年江苏省无锡市太湖高级中学高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/12 15:0:1

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1．直线（a+1）x+3y+3=0与直线x+（a-1）y+1=0平行，则实数a的值为（　　）
A．-2 B．
1
2
C．2 D．2或-2
组卷：211引用：9难度：0.5
解析
2．已知点A，B，C不共线，对空间任意一点O，若
OP
=
3
4
OA
+
1
8
OB
+
1
8
OC
，则P，A，B，C四点（　　）
A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断
组卷：175引用：8难度：0.8
解析
3．已知向量
a
=
（
2
3
，
0
，
2
）
，向量
b
=
（
1
，
0
，
3
）
，则向量
a
在向量
b
上的投影向量为（　　）
A．
（
1
2
，
0
，
3
2
）
B．
（
2
3
，
0
，
2
）
C．
（
1
，
0
，
3
）
D．
（
3
，
0
，
3
）
组卷：98引用：2难度：0.7
解析
4．若圆x²+y²+2x-4y+1=0被直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）平分，则
1
a
+
1
b
的最小值为（　　）
A．
1
4
B．9 C．4 D．
1
9
组卷：41引用：1难度：0.6
解析
5．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长均为2，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，M为C₁D₁的中点，则向量
AM
的模长为（　　）
A．
15
B．4 C．
17
D．
19
组卷：33引用：2难度：0.7
解析
6．已知A、B为椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=
1
上两点，O为坐标原点，M（异于点O）为弦AB中点，若AB两点连线斜率为
1
2
，则OM两点连线斜率为（　　）
A．
-
2
3
B．
-
3
2
C．
-
3
4
D．
-
4
3
组卷：145引用：1难度：0.5
解析
7．已知点P是圆M：（x-2）²+（y-2）²=2上的动点，线段AB是圆C：（x+1）²+（y+1）²=4的一条动弦，且
|
AB
|
=
2
3
，则
|
PA
+
PB
|
的最大值是（　　）
A．
3
2
B．
8
2
C．
5
2
D．
8
2
+
2
组卷：288引用：9难度：0.4
解析

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四、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

21．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2
2
，BC=4
2
，PA=2．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面PBC所成角的大小为30°，如果存在，求
PM
PD
的值，如果不存在，请说明理由．
组卷：106引用：1难度：0.5
解析
22．已知P（0，1）为椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上一点，长轴长为
2
2
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB的斜率之和为-1，证明：直线l必过定点，并求出这个定点坐标．
组卷：154引用：1难度：0.5
解析

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2023-2024学年江苏省无锡市太湖高级中学高二（上）期中数学试卷

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1．直线（a+1）x+3y+3=0与直线x+（a-1）y+1=0平行，则实数a的值为（ ）

2．已知点A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP=34OA+18OB+18OC，则P，A，B，C四点（ ）

3．已知向量a=（23，0，2），向量b=（1，0，3），则向量a在向量b上的投影向量为（ ）

4．若圆x2+y2+2x-4y+1=0被直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）平分，则1a+1b的最小值为（ ）

5．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，M为C1D1的中点，则向量AM的模长为（ ）

6．已知A、B为椭圆x24+y23=1上两点，O为坐标原点，M（异于点O）为弦AB中点，若AB两点连线斜率为12，则OM两点连线斜率为（ ）

7．已知点P是圆M：（x-2）2+（y-2）2=2上的动点，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2=4的一条动弦，且|AB|=23，则|PA+PB|的最大值是（ ）

四、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

21．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=22，BC=42，PA=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面PBC所成角的大小为30°，如果存在，求PMPD的值，如果不存在，请说明理由．

22．已知P（0，1）为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，长轴长为22．（1）求椭圆C的标准方程；（2）不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB的斜率之和为-1，证明：直线l必过定点，并求出这个定点坐标．

1．直线（a+1）x+3y+3=0与直线x+（a-1）y+1=0平行，则实数a的值为（　　）

2．已知点A，B，C不共线，对空间任意一点O，若
OP
=
3
4
OA
+
1
8
OB
+
1
8
OC
，则P，A，B，C四点（　　）

3．已知向量
a
=
（
2
3
，
0
，
2
）
，向量
b
=
（
1
，
0
，
3
）
，则向量
a
在向量
b
上的投影向量为（　　）

4．若圆x²+y²+2x-4y+1=0被直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）平分，则
1
a
+
1
b
的最小值为（　　）

5．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长均为2，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，M为C₁D₁的中点，则向量
AM
的模长为（　　）

6．已知A、B为椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=
1
上两点，O为坐标原点，M（异于点O）为弦AB中点，若AB两点连线斜率为
1
2
，则OM两点连线斜率为（　　）

7．已知点P是圆M：（x-2）²+（y-2）²=2上的动点，线段AB是圆C：（x+1）²+（y+1）²=4的一条动弦，且
|
AB
|
=
2
3
，则
|
PA
+
PB
|
的最大值是（　　）