湘教版必修3高考题单元试卷：第6章 立体几何初步（04）

一、选择题（共15小题）

• 1．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）

  A．36π

  B．64π

  C．144π

  D．256π
  组卷：10984引用：72难度：0.9

  解析

• 2．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（　　）

  A．1：2

  B．1：4

  C．1：8

  D．1：16
  组卷：1997引用：24难度：0.9

  解析

• 3．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度，则球的体积为（　　）

  A． 500 π 3 c m 3

  B． 866 π 3 c m 3

  C． 1372 π 3 c m 3

  D． 2048 π 3 c m 3
  组卷：4657引用：45难度：0.9

  解析

• 4．l₁，l₂，l₃是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）

  A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

  B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

  C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

  D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
  组卷：2532引用：98难度：0.9

  解析

• 5．过长方体的一个顶点的三条棱的长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这球的表面积是（　　）

  A．20 2 π

  B．25 2 π

  C．50π

  D．200π
  组卷：5350引用：65难度：0.9

  解析

• 6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）

  A．16π

  B．20π

  C．24π

  D．32π
  组卷：2012引用：49难度：0.7

  解析

• 7．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，则异面直线BA₁与AC₁所成的角等于（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．90°
  组卷：4859引用：142难度：0.9

  解析

• 8．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（　　）
  

  A．4

  B． 14 3

  C． 16 3

  D．6
  组卷：1026引用：35难度：0.7

  解析

• 9．在下列命题中，不是公理的是（　　）

  A．平行于同一个平面的两个平面平行

  B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面

  C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内

  D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
  组卷：1910引用：55难度：0.9

  解析

• 10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=（　　）

  A．8

  B．9

  C．10

  D．11
  组卷：1114引用：28难度：0.9

  解析

三、解答题（共4小题）

• 29．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．
  （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
  （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
  组卷：7156引用：25难度：0.5

  解析

• 30．如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A₁处发现矿藏，再继续下钻到A₂处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A₁A₂=d₁．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B₁B₂=d₂，C₁C₂=d₃，且d₁＜d₂＜d₃．过AB，AC的中点M，N且与直线AA₂平行的平面截多面体A₁B₁C₁-A₂B₂C₂所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S_中．
  （Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；
  （Ⅱ）在△ABC中，记BC=a,BC边上的高为h,面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A₁B₁C₁-A₂B₂C₂的体积V）时，可用近似公式V_估=S_中•h来估算．已知V=

  1

  3

  （d₁+d₂+d₃）S，试判断V_估与V的大小关系，并加以证明．
  组卷：872引用：20难度：0.1

  解析