2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知空间向量

  a

  =

  （

  -

  1

  ，

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  3

  ，

  x

  ,-

  3

  ）

  ，且

  a

  ∥

  b

  ，则x=（　　）

  A．-3

  B．3

  C．-6

  D．6
  组卷：244引用：4难度：0.7

  解析

• 2．直线3x+2y-1=0的一个方向向量是（　　）

  A．（2，-3）

  B．（2，3）

  C．（-3，2）

  D．（3，2）
  组卷：1888引用：41难度：0.9

  解析

• 3．双曲线

  x

  2

  5

  -

  y

  2

  4

  =

  1

  的焦距等于（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．6
  组卷：216引用：2难度：0.9

  解析

• 4．圆x²+y²-4=0与圆x²+y²-4x+4y-12=0的公共弦长为（　　）

  A．2

  B．2 2

  C．3

  D．2 3
  组卷：168引用：3难度：0.7

  解析

• 5．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是（　　）

  A．事件A与B为互斥事件

  B．事件B与C为对立事件

  C．事件A与B为非相互独立事件

  D．事件A与C为相互独立事件
  组卷：363引用：5难度：0.8

  解析

• 6．在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（　　）

  A． 1 2

  B． 3 5

  C． 3 3

  D． 6 3
  组卷：600引用：10难度：0.7

  解析

• 7．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁（-c,0），F₂（c,0），若椭圆C上存在一点M使得△MF₁F₂的内切圆半径为

  c

  2

  ，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

  A． （ 0 ， 3 5 ]

  B． （ 0 ， 4 5 ]

  C． [ 3 5 ， 1 ）

  D． [ 4 5 ， 1 ）
  组卷：816引用：11难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，AB=2，且∠DAB=∠DBF=60°．
  （1）求证：AC⊥平面BDEF；
  （2）若M为线段DE上的一点，满足直线AM与平面ABF所成角的正弦值为

  2

  30

  15

  ，求线段DM的长．
  组卷：146引用：2难度：0.5

  解析

• 22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

  6

  3

  ．点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限．记△PF₁F₂的面积为S，当PF₂⊥F₁F₂时，

  S

  =

  2

  6

  3

  ．
  （1）求椭圆E的标准方程；
  （2）如图，PF₁，PF₂的延长线分别交椭圆于点M，N，记△MF₁F₂和△NF₁F₂的面积分别为S₁和S₂．
  （ⅰ）求证：存在常数λ，使得

  1

  S

  1

  +

  1

  S

  2

  =

  λ

  S

  成立；
  （ⅱ）求S₂-S₁的最大值．
  组卷：272引用：6难度：0.6

  解析