2010年新课标九年级数学竞赛培训第26讲：开放性问题

一、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

• 1．如图，L是四边形ABCD的对称轴，若AD∥BC，有下列结论：
  ①AB∥CD，②AB=BC，③AB⊥BC，④AO=CO，
  其中正确的是

   

  ．
  组卷：139引用：4难度：0.5

  解析

• 2．如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：

   

  ．
  组卷：940引用：7难度：0.9

  解析

• 3．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
  甲：对称轴是直线x=4；
  乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；
  丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；
  请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：

  ．
  组卷：425引用：23难度：0.7

  解析

• 4．给定四个命题：①sin15°与sin75°的平方和为1；②函数y=x²-8x+6的最小值为-10；③

  a

  4

  -

  1

  a

  =

  4

  -

  a

  3

  ；④

  x

  -

  10

  5

  -

  x

  =

  10

  -

  x

  5

  -

  x

  ，则x=10”，其中错误的命题的个数是

   

  ．
  组卷：61引用：2难度：0.9

  解析

二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）

• 5．①在实数范围内，一元二次方程ax²+bx+c=0的根为

  x

  =

  -

  b

  ±

  b

  2

  -

  4

  ac

  2

  a

  ；
  ②在△ABC中，若AC²+BC²＞AB²，则△ABC是锐角三角形；
  ③在△ABC和△AB₁C₁中，a、b、c分别为△ABC的三边，a₁、b₁、c₁分别为△AB₁C₁的三边，若a＞a₁，b＞b₁，c＞c₁，则△ABC的面积大S于△AB₁C₁的面积S₁．
  以上三个命题中，真命题的个数是（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  组卷：48引用：2难度：0.9

  解析

三、解答题（共13小题，满分126分）

• 6．如图，⊙O与⊙O₁外切于点T，PT是其内公切线，AB为其外公切线，且A、B为切点，AB与TP相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明．
  组卷：62引用：3难度：0.5

  解析

三、解答题（共13小题，满分126分）

• 17．（1）证明：若x取任意整数时，二次函数y=ax²+bx+c总取整数值，那么2a、a-b、c都是整数．
  （2）写出上述命题的逆命题，且证明你的结论．
  组卷：95引用：3难度：0.5

  解析

• 18．已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16．
  （1）这样的四边形有几个？
  （2）求这样的四边形边长的平方和的最小值．
  组卷：226引用：2难度：0.1

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