2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．过点A（2，3）且与直线l：2x-4y+7=0平行的直线方程是（　　）

  A．x-2y+4=0

  B．x-2y-4=0

  C．2x-y+1=0

  D．x+2y-8=0
  组卷：710引用：14难度：0.8

  解析

• 2．若双曲线E：

  x

  2

  9

  -

  y

  2

  16

  =1的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线E上，且|PF₁|=3，则|PF₂|等于（　　）

  A．11

  B．9

  C．5

  D．3
  组卷：3803引用：36难度：0.9

  解析

• 3．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（　　）

  A．直线l平行于直线m

  B．直线l与直线m异面

  C．直线l与直线m没有公共点

  D．直线l与直线m不垂直
  组卷：1289引用：5难度：0.5

  解析

• 4．已知圆（x-1）²+y²=4内一点P（2，1），则过P点的最短弦所在的直线方程是（　　）

  A．x-y-1=0

  B．x+y-3=0

  C．x+y+3=0

  D．x=2
  组卷：392引用：8难度：0.7

  解析

• 5．已知线段AB、BD在平面α内，∠ABD=120°，线段AC⊥α，如果AB=a,BD=b,AC=c,则线段CD的长为（　　）

  A． a 2 + b 2 + c 2 + ab	B． a 2 + b 2 + c 2 - ab
  C． a 2 + b 2 + c 2 - ac	D． a 2 + b 2 + c 2
  组卷：94引用：2难度：0.7

  解析

• 6．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，|AF|=4，圆E为△FAB的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则

  OM

  •

  ON

  的取值范围是（　　）

  A．[- 63 25 ，9]

  B．[-3，21]

  C．[ 63 25 ，21]

  D．[3，27]
  组卷：436引用：18难度：0.5

  解析

• 7．设函数f（x）=2sin（ωx+φ）-1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[

  π

  4

  ，

  3

  π

  4

  ]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（　　）

  A．[ 8 3 ， 16 3 ）

  B．[4， 16 3 ）

  C．[4， 20 3 ）

  D．[ 8 3 ， 20 3 ）
  组卷：3592引用：18难度：0.2

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，四边形BCC₁B₁是边长为2的正方形，D为AB中点，且

  A

  1

  D

  =

  5

  ．
  （1）求证：CD⊥平面ABB₁A₁；
  （2）若点P在线段B₁C上，且直线AP与平面A₁CD所成角的正弦值为

  2

  5

  5

  ，求点P到平面A₁CD的距离．
  组卷：723引用：12难度：0.6

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• 22．已知点P（1，1）在椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）上，椭圆C的左、右焦点分别为F₁，F₂，△PF₁F₂的面积为

  6

  2

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：x²+y²=r²（0＜r＜1）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论．
  组卷：125引用：5难度：0.6

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