2023年湖南省长沙一中高考数学二模试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

• 1．已知全集U=R，集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|x=2k,k∈Z}，则（∁_UA）∩B=（　　）

  A．{2}

  B．{0，2}

  C．{0，2，4}

  D．{-1，0，1，2，3}
  组卷：77引用：9难度：0.8

  解析

• 2．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将函数f（x）的图象先向右平移

  π

  6

  个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与y=cosx图象重合，则（　　）

  A． ω = 1 2 ， φ = π 6

  B． ω = 1 2 ， φ = π 3

  C．ω=2， φ = 5 π 6

  D．ω=2， φ = π 3
  组卷：81引用：2难度：0.6

  解析

• 3．点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（1+3λ）x+（1-2λ）y-（7+λ）=0（λ为任意实数）的距离的最大值为（　　）

  A． 2 3 + 1

  B．6

  C． 3 2 + 1

  D．5
  组卷：436引用：3难度：0.7

  解析

• 4．下列不是x³=1的复数范围内解的是（　　）

  A．1

  B． 1 2 + 3 2 i

  C． - 1 2 + 3 2 i

  D． - 1 2 - 3 2 i
  组卷：41引用：1难度：0.8

  解析

• 5．已知向量

  a

  与

  b

  的夹角为30°，且

  |

  a

  |

  =

  3

  ，

  |

  b

  |

  =

  1

  ，设

  m

  =

  a

  +

  b

  ，

  n

  =

  a

  -

  b

  ，则向量

  m

  在

  n

  方向上的投影向量为（　　）

  A．2 n

  B． n

  C． 3 n

  D． 3 3 n
  组卷：127引用：3难度：0.7

  解析

• 6．1360年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转．最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根直针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同．已知一个沙漏的沙池形状为圆锥形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（　　）

  A． 1 2 小时

  B． 2 3 小时

  C． 3 4 小时

  D． 7 8 小时
  组卷：82引用：6难度：0.6

  解析

• 7．等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为S_n，且a₁＞0，0＜q＜1的等比数列{a_n}为例，先画出直线OQ：y=qx,并确定x轴上一点A₁（a₁，0），过点A₁作y轴的平行线，交直线OQ于点P₁，则A₁P₁=a₁q.再过点P₁作平行于x轴，长度等于a₁q的线段P₁M₂，……，不断重复上述步骤，可以得到点列{P_n}，{M_n}和{A_n}．下列说法错误的是（　　）

  A． | A 2 A 3 | = a 1 q 2	B． | P n A n | | O A n | = q
  C．点An的坐标为（Sn，0）	D．|PnAn|=Sn-a1
  组卷：140引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）过点D（0，-1），且有两个顶点所在直线的斜率为

  1

  2

  ，过椭圆左顶点A的直线l与椭圆C交于点M，与y轴交于点N．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）若△AMD的面积为

  6

  5

  ，求直线l的方程；
  （Ⅲ）设过原点O且与直线l平行的直线l'交椭圆于点P，求证，

  |

  AM

  |

  •

  |

  AN

  |

  |

  OP

  |

  2

  为定值．
  组卷：264引用：3难度：0.4

  解析

• 22．已知函数f（x）=e^x-1g（x）-lnx.
  （1）若函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  （

  1

  2

  x

  2

  +

  ax

  +

  alnx

  ）

  e

  1

  -

  x

  ，讨论f（x）的单调性；
  （2）从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分．
  ①若函数g（x）=（x+1）e^1-xlnx,f（m）=f（n），且m≠n,证明：m+n＜1；
  ②若函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  e

  1

  -

  x

  （

  x

  2

  -

  xlnx

  +

  1

  x

  ）

  ，证明：

  f

  （

  x

  ）

  ＞

  1

  +

  ln

  2

  2

  ．
  组卷：134引用：2难度：0.2

  解析