2022-2023学年北京二十中高三（上）月考数学试卷（12月份）

一、选择题共10小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项.

• 1．设集合A={x|x＞2}，B={x|（x-1）（x-3）＜0}，则A∩B=（　　）

  A．{x|x＞1}

  B．{x|2＜x＜3}

  C．{x|1＜x＜3}

  D．{x|x＞2或x＜1}
  组卷：68引用：8难度：0.9

  解析

• 2．抛物线y²=2x的准线方程是（　　）

  A． y = - 1 2

  B．y=-1

  C． x = - 1 2

  D．x=-1
  组卷：437引用：17难度：0.9

  解析

• 3．下列函数中最小正周期为π的是（　　）
  ①f（x）=cosx•sinx；
  ②f（x）=cosx+sinx；
  ③

  f

  （

  x

  ）

  =

  sinx

  cosx

  ；
  ④f（x）=2sin²x

  A．①②

  B．②④

  C．①③④

  D．①②④
  组卷：200引用：3难度：0.8

  解析

• 4．已知{a_n}是公差为d的等差数列，S_n为其前n项和．若S₃=3a₁+3，则d=（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  组卷：548引用：8难度：0.8

  解析

• 5．已知α，β是两个不重合的平面，m,l是两条不重合的直线，下列结论不正确的是（　　）

  A．l⊥α，m∥l⇒m⊥α	B．l⊥α，m⊥α⇒m∥l
  C．l⊥α，α∥β⇒l⊥β	D．l⊥α，m⊥l⇒m∥α
  组卷：34引用：1难度：0.6

  解析

• 6．如图，在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则

  AD

  •

  BC

  =（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．不能确定
  组卷：162引用：11难度：0.5

  解析

• 7．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　）

  A．cb＜ca	B．logca＞logcb
  C．ac＜bc	D．logac＞logbc
  组卷：362引用：3难度：0.8

  解析

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程.

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  3

  2

  ，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为4

  5

  ．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）直线y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，线段AB的垂直平分线与AB交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点．如果∠MOP=2∠MNP成立，求k的值．
  组卷：1048引用：11难度：0.6

  解析

• 21．已知无穷数列{a_n}满足|a_n+1-a_n|=1，其中n=1，2，3，…．对于数列{a_n}中的一项a_k，若包含a_k的连续j（j≥2）项a_i，a_i+1，…，a_i+j-1（i≤k≤i+j-1）满足a_i＜a_i+1＜…＜a_i+j-1或a_i＞a_i+1＞…＞a_i+j-1，则称a_i，a_i+1，…，a_i+j-1为包含a_k的长度为j的“单调片段”．
  （Ⅰ）若a_n=sin

  nπ

  2

  ，写出所有包含a₃的长度为3的“单调片段”；
  （Ⅱ）若∀k∈N⁺，包含a_k的“单调片段”长度的最大值都等于2，并且a₃=9，求{a_n}的通项公式；
  （Ⅲ）若∀k∈N⁺，k≥2，都存在包含a_k的长度为k的“单调片段”，求证：存在N₀∈N⁺，使得n≥N₀时，都有|a_n-

  a

  N

  0

  |=n-N₀．
  组卷：65引用：2难度：0.2

  解析