苏教版（2019）选择性必修第一册《第3章 圆锥曲线与方程》2023年单元测试卷（4）

一、解答题

• 1．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-1．
  （1）求抛物线的方程；
  （2）直线l过点（4，0）与抛物线交于A、B两点，求证：OA⊥OB．
  组卷：22引用：3难度：0.5

  解析

• 2．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的短轴长为

  2

  3

  ，且离心率为

  1

  2

  ，圆D：x²+y²=a²+b²．
  （1）求椭圆C的方程，
  （2）点P在圆D上，F为椭圆右焦点，线段PF与椭圆C相交于Q，若

  PF

  =

  λ

  QF

  ，求λ的取值范围．
  组卷：121引用：4难度：0.4

  解析

• 3．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  1

  2

  ，且椭圆经过点

  （

  1

  ，

  3

  2

  ）

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）设P是圆x²+y²=7上任一点，由P引椭圆两条切线PA，PB当切线斜率存在时，求证两条切线斜率的积为定值．
  组卷：230引用：3难度：0.6

  解析

• 4．已知A，B分别是椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的左、右顶点，C、D分别是椭圆的上、下顶点，且△ACD为等边三角形，P是椭圆E上异于A，B的一点．
  （1）求椭圆E的离心率；
  （2）证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值，并求出该定值．
  组卷：39引用：3难度：0.5

  解析

一、解答题

• 13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点到点（2，0）的最短距离为

  3

  ．
  （Ⅰ）求C的方程；
  （Ⅱ）若过点M（2，1）的直线l交C于E，F两点，且

  2

  OM

  =

  OE

  +

  OF

  （O为坐标原点），求直线l的方程．
  组卷：31引用：3难度：0.4

  解析

• 14．已知焦点在x轴上的椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，短轴长为

  2

  3

  ，椭圆左顶点A到左焦点F₁的距离为1．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）设椭圆的右顶点为B，过F₁的直线l与椭圆C交于点M，N，且

  S

  △

  BMN

  =

  18

  2

  7

  ，求直线l的方程．
  组卷：179引用：3难度：0.4

  解析