2022-2023学年湖南师大附中高三（上）月考数学试卷（六）

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知复数z满足

  z

  1

  -

  i

  -

  i

  1

  +

  i

  =

  1

  ，则z=（　　）

  A．-2+i

  B．-2-i

  C．2+i

  D．2-i
  组卷：65引用：5难度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={（x,y）|x²+y²≤2，x∈Z，y∈Z}，B={（x,y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（　　）

  A．9

  B．8

  C．6

  D．5
  组卷：131引用：6难度：0.8

  解析

• 3．已知函数f（x）=3x-ln|x|，则f（x）的图象大致为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：296引用：11难度：0.7

  解析

• 4．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若

  AB

  =

  a

  ，

  AD

  =

  b

  ，E为BF的中点，则

  AE

  =（　　）

  A． 4 5 a + 2 5 b

  B． 2 5 a + 4 5 b

  C． 4 3 a + 2 3 b

  D． 2 3 a + 4 3 b
  组卷：1093引用：21难度：0.6

  解析

• 5．（a-x）（2+x）⁶的展开式中x⁵的系数是12，则实数a的值为（　　）

  A．4

  B．5

  C．6

  D．7
  组卷：420引用：6难度：0.6

  解析

• 6．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，Q为BC的中点，PQ⊥平面ABCD，且PQ=2，动点N在以D为球心，半径为1的球面上运动，点M在平面ABCD内运动，且PM=

  5

  ，则MN长度的最小值为（　　）

  A． 5 - 3 2

  B．2- 3

  C．-2+ 5

  D． 3 - 3 2
  组卷：110引用：4难度：0.5

  解析

• 7．设

  a

  =

  1

  4

  ，

  b

  =

  e

  sin

  1

  8

  -

  1

  ，

  c

  =

  ln

  9

  7

  ，e为自然对数的底数，则（　　）

  A．a＞b＞c

  B．a＞c＞b

  C．c＞a＞b

  D．b＞c＞a
  组卷：35引用：1难度：0.5

  解析

四、解答题。本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．过抛物线y²=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m,0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．
  （1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；
  （2）若点N是定直线l：x=-m上的任意一点，分别记直线AN，MN，BN的斜率为k₁、k₂、k₃，
  试求k₁、k₂、k₃之间的关系，并给出证明．
  组卷：365引用：6难度：0.1

  解析

• 22．已知函数f（x）=e^xsinx-cosx,g（x）=xcosx-

  2

  e^x，其中e是自然对数的底数．
  （1）判断函数y=f（x）在（0，

  π

  2

  ）内的零点的个数，并说明理由；
  （2）∀x₁∈[0，

  π

  2

  ]，∃x₂∈[0，

  π

  2

  ]，使得f（x₁）+g（x₂）≥m成立，试求实数m的取值范围；
  （3）若x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．
  组卷：881引用：15难度：0.1

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