2023-2024学年江苏省常州市金坛区高二（上）期中数学试卷

一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．在平面直角坐标系xOy中，直线

  3

  x+y-1=0的倾斜角为（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． 2 π 3

  D． 5 π 6
  组卷：50引用：3难度：0.9

  解析

• 2．若方程mx²+（1-m）y²=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（　　）

  A．m＜0

  B．m＞1

  C．0＜m＜1

  D．m＜1且m≠0
  组卷：65引用：2难度：0.7

  解析

• 3．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m,深度为0.6m,则该抛物线的焦点到顶点的距离为（　　）

  A．1.35m

  B．2.05m

  C．2.7m

  D．5.4m
  组卷：239引用：16难度：0.8

  解析

• 4．已知A（2，0），B（2，3），直线l过定点P（1，2），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）

  A．-2≤k≤1

  B． - 1 2 ≤ k ≤ 1

  C．k≠1

  D．k≤-2或k≥1
  组卷：257引用：7难度：0.7

  解析

• 5．17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程a²-x²=ky²（k＞0，k≠1，a≠0）表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB（异于A，B两点）引垂线，垂足为Q，则

  P

  Q

  2

  AQ

  •

  BQ

  为常数．据此推断，此常数的值为（　　）

  A．椭圆的离心率

  B．椭圆离心率的平方

  C．短轴长与长轴长的比

  D．短轴长与长轴长比的平方
  组卷：215引用：10难度：0.7

  解析

• 6．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）上有点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，∠ABF=

  π

  12

  ，则椭圆的离心率为（　　）

  A． 1 2

  B． 6 3

  C． 3 3

  D． 2 2
  组卷：218引用：6难度：0.6

  解析

• 7．若方程

  x

  +

  b

  =

  3

  -

  4

  x

  -

  x

  2

  有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（　　）

  A． （ 1 - 2 2 ， 1 + 2 2 ）	B． （ 1 - 2 2 ，- 1 ]
  C． [ - 1 ， 1 + 2 2 ）	D． （ 1 - 2 2 ， 3 ]
  组卷：200引用：6难度：0.6

  解析

四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．在直角坐标系xOy中，直线y=-2x是双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的一条渐近线，点

  A

  （

  2

  ，

  2

  ）

  在双曲线C上，设M（m,n）（n≠0）为双曲线上的动点，直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q．
  （1）求双曲线C的方程；
  （2）在x轴上是否存在一点T，使得

  |

  TP

  +

  TQ

  |

  =

  |

  PQ

  |

  ，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
  （3）求M点的坐标，使得△MPQ的面积最小．
  组卷：45引用：2难度：0.5

  解析

• 22．如图，已知点F₁，F₂分别是椭圆C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =1的左右焦点，A，B是椭圆C上不同的两点，且

  F

  1

  A

  =λ

  F

  2

  B

  （λ＞0），连接AF₂，BF₁且AF₂，BF₁交于点Q．
  （1）当λ=2时，求点B的横坐标；
  （2）若△ABQ的面积为

  1

  2

  ，试比较λ+

  1

  λ

  与2的大小，说明理由．
  组卷：30引用：2难度：0.5

  解析