2022-2023学年上海交大附中高二（上）假期检测数学试卷（8月份）

一、填空题：（本大题满分54分，前6题每小题满分54分，后6题每小题满分54分）

• 1．计算：tan（arctan

  1

  2

  +arctan

  1

  3

  ）=

  ．
  组卷：83引用：2难度：0.6

  解析

• 2．关于x的不等式4-3x＜

  （

  x

  -

  1

  ）

  （

  2

  -

  x

  ）

  的解集为

  ．
  组卷：64引用：1难度：0.8

  解析

• 3．已知复数z=3-ai（i为虚数单位）满足|

  z

  -2|＜2，则实数a的取值范围为

  ．
  组卷：31引用：1难度：0.8

  解析

• 4．已知向量

  a

  =（-2，3），点A（2，-1），若向量

  AB

  与

  a

  方向相同，且|

  AB

  |=2

  13

  ，则点B的坐标为

  ．
  组卷：178引用：4难度：0.7

  解析

• 5．在以下5个函数：（Ⅰ）y=2^x+3+6；（Ⅱ）y=-3×2^x；（Ⅲ）y=-2^-x；（Ⅳ）y=2^x（log₂3）-1；（Ⅴ）y=k×2^x（k∈R，k为常数）中，一定可以通过平移得到y=2^x的函数图像的编号为

  ．
  组卷：16引用：1难度：0.8

  解析

• 6．如图所示，在直角坐标系内，一个粒子从原点出发，沿x轴向右前进1个单位到P₁，接着向上前进

  1

  2

  个单位到P₂，再向左前进

  1

  2

  2

  个单位到P₃，再向下前进

  1

  2

  3

  个单位到P₄，以后再按向右、向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离是前一次前进的距离的

  1

  2

  ，这样无限的继续下去，则粒子到达的极限位置的坐标为

  ．
  组卷：8引用：1难度：0.6

  解析

• 7．若实数x、y、z满足2019x³=2020y³=2021z³，

  3

  2019

  x

  2

  +

  2020

  y

  2

  +

  2021

  z

  2

  =

  3

  2019

  +

  3

  2020

  +

  3

  2021

  ，且xyz＞0，则

  1

  x

  +

  1

  y

  +

  1

  z

  =

  ．
  组卷：45引用：1难度：0.8

  解析

三、解答题：（本大题满分76分，共5小题，解答本大题要有必要的过程）

• 20．已知函数y=1-

  1

  x

  +

  2

  的图像按向量

  m

  （2，1）平移后得到∫的图像，数列{a_n}满足a_n=f（a_n-1）（n∈N且n≥2）．
  （Ⅰ）若a₁=

  3

  5

  ，满足b_n=

  1

  a

  n

  -

  1

  ，求证：数列{b_n}是等差数列；
  （Ⅱ）若a₁=

  3

  5

  ，试判断数列{a_n}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，请说明理由；
  （Ⅲ）若1＜a₁＜2，试证明：1＜a_n+1＜a_n＜2．
  组卷：141引用：1难度：0.4

  解析

• 21．已知函数f（x）=

  2 x ， x ≤ 0

  log 2 x ， x ＞ 0

  ．
  （1）解不等式x•f（x）≤0；
  （2）设k、m均为实数，当x∈（-∞，m]时，f（x）的最大值为1，且满足此条件的任意实数x及m的值，使得关于x的不等式f（x）≤m²-（k-2）m+3k-10恒成立，求k的取值范围；
  （3）设t为实数，若关于x的方程f[f（x）]-log₂（t-x）=0恰有两个不相等的实数根x₁、x₂且x₁＜x₂，试将

  2

  x

  1

  +

  lo

  g

  2

  x

  2

  +

  1

  2

  -

  |

  x

  1

  -

  1

  |

  +

  |

  x

  2

  -

  1

  |

  表示为关于t的函数，并写出此函数的定义域．
  组卷：229引用：5难度：0.2

  解析