2023年湖南省炎德英才大联考高考数学模拟试卷（2月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合A={1，2}，B={2，3}，则集合C={z|z=x+y,x∈A，y∈B}的真子集个数为（　　）

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  组卷：316引用：8难度：0.8

  解析

• 2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（-1，2），则

  z

  1

  +

  i

  =（　　）

  A． - 3 2 + 3 2 i

  B． - 3 2 - 1 2 i

  C． - 3 2 - 3 2 i

  D． 1 2 + 3 2 i
  组卷：132引用：1难度：0.8

  解析

• 3．已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为

  4

  3

  ，则该圆台的表面积为（　　）

  A．59π

  B．61π

  C．63π

  D．64π
  组卷：188引用：5难度：0.8

  解析

• 4．已知函数f（x）=3x-ln|x|，则f（x）的图象大致为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：298引用：11难度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，“∠C=90°”是“cosA+sinA=cosB+sinB”的（　　）

  A．充分非必要条件	B．必要非充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：172引用：5难度：0.7

  解析

• 6．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，

  CF

  =

  2

  FD

  ，DE与BF相交于O．若AD=2，

  AO

  •

  （

  3

  AD

  -

  2

  AB

  ）

  =

  -

  7

  ，则AB+AD的长为（　　）​

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  组卷：136引用：1难度：0.6

  解析

• 7．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  A

  sin

  （

  ωx

  +

  φ

  ）

  +

  b

  （

  |

  φ

  |

  ＜

  π

  2

  ）

  的图象如图，则f（x）的解析式和S=f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2020）+f（2021）+f（2022）+f（2023）的值分别为（　　）

  A． f （ x ） = 1 2 sin 2 πx + 1 ，S=2023

  B． f （ x ） = 1 2 sin 2 πx + 1 ， S = 2023 1 2

  C． f （ x ） = 1 2 sin πx 2 + 1 ， S = 2024 1 2

  D． f （ x ） = 1 2 sin πx 2 + 1 ，S=2024
  组卷：128引用：5难度：0.8

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

• 21．某公司为宣传其产品，设计一大型广告立牌置于公司楼下显目位置，广告立牌垂直于地面，其设计图如下所示，由直角△ABC和以BC为直径的半圆拼接而成，AC⊥BC，AB固定于地面，且AB=10m,点P为半圆上一点（异于B，C两点），四边形ABPC为梯形，CP∥AB，该广告立牌右侧有一条垂直于AB的直线小道L（直线小道路面与地面平齐），与AB的延长线交于点D，且BD=10m.
  （1）若沿该造型外部边缘增加铁丝加以固定，求铁丝长度（即CA+

  ˆ

  CPB

  ）的最大值及此时tan∠CAB的值；
  （2）若∠CAB=60°，行人M（视为质点，行人高度忽略不计）沿直线小道L向该广告立牌走近，当对底边AB观察的视线所张的角最大时，求从M处观察P点时仰角的正切值．
  组卷：71引用：4难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=e^xsinx-cosx,g（x）=xcosx-

  2

  e^x，其中e是自然对数的底数．
  （1）判断函数y=f（x）在（0，

  π

  2

  ）内的零点的个数，并说明理由；
  （2）∀x₁∈[0，

  π

  2

  ]，∃x₂∈[0，

  π

  2

  ]，使得f（x₁）+g（x₂）≥m成立，试求实数m的取值范围；
  （3）若x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．
  组卷：883引用：15难度：0.1

  解析