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2022-2023学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．若z=（a²-1）+（a-1）i为纯虚数，其中a∈R，则
a
2
+
i
1
+
ai
等于（　　）
A．-i B．i C．1 D．1或i
组卷：31引用：2难度：0.9
解析
2．在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是
1
6
．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件
A
∪
B
发生的概率是（　　）
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
5
6
组卷：168引用：1难度：0.8
解析
3．已知集合
A
=
{
x
|
（
1
2
）
x
2
-
x
-
6
＜
1
}
，
B
=
{
x
|
log
4
（
x
+
a
）
＜
1
}
，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-3，6） B．[-3，6]
C．（-∞，-3）∪（6，+∞） D．（-∞，-3]∪[6，+∞）
组卷：129引用：4难度：0.7
解析
4．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若sinA=sinB，且c²=2a²（1+sinC），则C=（　　）
A．
π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
3
π
4
组卷：152引用：1难度：0.7
解析
5．若
sin
（
α
+
π
12
）
=
2
3
，则
cos
（
2
α
-
5
π
6
）
的值为（　　）
A．
1
9
B．
2
2
9
C．
-
1
9
D．
-
2
2
9
组卷：247引用：1难度：0.7
解析
6．已知函数f（x）=x²+3^|x|，设
a
=
f
（
log
2
1
3
）
，
b
=
f
（
100
-
0
.
1
）
，
c
=
f
（
（
81
16
）
1
4
）
，则a,b,c的大小关系为（　　）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
组卷：288引用：3难度：0.7
解析
7．已知函数
f
（
x
）
=
sin
（
2
x
-
φ
）
（
0
＜
φ
＜
π
2
）
在
[
0
，
π
3
]
上是增函数，且f（x）在
（
0
，
11
π
12
）
上有最小值，则φ的取值范围是（　　）
A．
[
π
6
，
π
4
）
B．
[
π
6
，
π
3
）
C．
[
π
4
，
π
3
）
D．
[
π
3
，
π
2
）
组卷：163引用：1难度：0.6
解析

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）

21．某中学在2022年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计某班有50名同学，总分都在区间[600，700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的频率分布直方图．

（1）估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资格．高校T的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A⁺，A，B，C四个等级，两科中至少有一科得到A⁺，且两科均不低于B，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校T提前录取．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A⁺，A，B，C的概率分别为
2
3
，
1
6
，
1
12
，
1
12
；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得A⁺，A，B，C的概率分别为
1
3
，
1
4
，
1
6
，
1
4
；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A⁺，则免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个A⁺，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为
2
3
，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为
2
5
，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取．若该班级本次高考总分大于等于680的同学都报考了高校T的“强基计划”，且恰有1人成绩高于690分．求：
①总分高于690分的某位同学进入第二轮的概率P₁；
②该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率P₂．
组卷：261引用：1难度：0.3
解析
22．已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a,b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”．
（1）将函数g（x）=x³-3x²的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数
h
（
x
）
=
ln
2
x
x
+
2
图象对称中心的坐标；
（3）记（2）中的对称中心的坐标为（a,b），函数f（x）=h（x+a）-b,若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为
[
ln
（
mα
-
m
2
）
，
ln
（
mβ
-
m
2
）
]
，求实数m的取值范围．
组卷：69引用：1难度：0.3
解析

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A．（-3，6）	B．[-3，6]
C．（-∞，-3）∪（6，+∞）	D．（-∞，-3]∪[6，+∞）

2022-2023学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．若z=（a2-1）+（a-1）i为纯虚数，其中a∈R，则a2+i1+ai等于（ ）

2．在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是16．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪B发生的概率是（ ）

3．已知集合A={x|（12）x2-x-6＜1}，B={x|log4（x+a）＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）

4．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若sinA=sinB，且c2=2a2（1+sinC），则C=（ ）

5．若sin（α+π12）=23，则cos（2α-5π6）的值为（ ）

6．已知函数f（x）=x2+3|x|，设a=f（log213），b=f（100-0.1），c=f（（8116）14），则a,b,c的大小关系为（ ）

7．已知函数f（x）=sin（2x-φ）（0＜φ＜π2）在[0，π3]上是增函数，且f（x）在（0，11π12）上有最小值，则φ的取值范围是（ ）

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）

1．若z=（a²-1）+（a-1）i为纯虚数，其中a∈R，则
a
2
+
i
1
+
ai
等于（　　）

2．在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是
1
6
．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件
A
∪
B
发生的概率是（　　）

3．已知集合
A
=
{
x
|
（
1
2
）
x
2
-
x
-
6
＜
1
}
，
B
=
{
x
|
log
4
（
x
+
a
）
＜
1
}
，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）

4．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若sinA=sinB，且c²=2a²（1+sinC），则C=（　　）

5．若
sin
（
α
+
π
12
）
=
2
3
，则
cos
（
2
α
-
5
π
6
）
的值为（　　）

6．已知函数f（x）=x²+3^|x|，设
a
=
f
（
log
2
1
3
）
，
b
=
f
（
100
-
0
.
1
）
，
c
=
f
（
（
81
16
）
1
4
）
，则a,b,c的大小关系为（　　）

7．已知函数
f
（
x
）
=
sin
（
2
x
-
φ
）
（
0
＜
φ
＜
π
2
）
在
[
0
，
π
3
]
上是增函数，且f（x）在
（
0
，
11
π
12
）
上有最小值，则φ的取值范围是（　　）