人教五四新版九年级（上）中考题同步试卷：28.3 二次函数与实际问题（16）

一、解答题（共30小题）

• 1．如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=1，点P为线段BC上（不含B、C两点）的一个动点，PF∥y轴交抛物线于点F，设点P的横坐标为m.
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）用含m的代数式表示线段PF的长；
  （3）设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并确定当m为何值时△BCF的面积最大．
  组卷：192引用：50难度：0.1

  解析

• 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C₁与经过点A、D、B的抛物线的一部分C₂组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，-

  3

  2

  ），点M是抛物线C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的顶点．
  （1）求A、B两点的坐标；
  （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
  （3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
  组卷：2300引用：83难度：0.5

  解析

• 3．如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示PM的长；
  （3）在（2）的条件下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
  组卷：1669引用：74难度：0.5

  解析

• 4．如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
  （3）如图2，若点P为平面上一点，点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
  
  组卷：2135引用：68难度：0.5

  解析

• 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-x²+bx+c.点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
  （1）求抛物线的解析式．
  （2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．
  （3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．
  组卷：2183引用：66难度：0.5

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• 6．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,
  ①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
  ②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：2015引用：71难度：0.5

  解析

• 7．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=

  1

  2

  x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，

  7

  2

  ）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）若点P的横坐标为m,当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
  （3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．
  
  组卷：4922引用：71难度：0.5

  解析

• 8．如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax²+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
  （1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
  （2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax²+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
  组卷：1132引用：60难度：0.5

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• 9．如图，抛物线y=

  1

  2

  x²+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．
  （1）求该抛物线的解析式．
  （2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
  （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
  组卷：2249引用：67难度：0.5

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• 10．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．
  （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
  （2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
  （3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．
  ①当t为

   

  秒时，△PAD的周长最小？当t为

   

  秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）
  ②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：730引用：59难度：0.5

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一、解答题（共30小题）

• 29．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，-

  3

  ），已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
  组卷：714引用：58难度：0.5

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• 30．如图，已知抛物线y=2x²-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
  （1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；
  （2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l₁与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；
  （3）过点D（m,0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l₂上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．
  组卷：379引用：54难度：0.5

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