2023-2024学年天津市第二南开中学高三（上）期中数学试卷

一、本卷共9小题，每小题5分，共45分.

• 1．设全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，0，2，3}，则A∩（∁_UB）=（　　）

  A．{-3，3}	B．{0，2}
  C．{-1，1}	D．{-3，-2，-1，1，3 }
  组卷：4510引用：30难度：0.9

  解析

• 2．已知a,b∈R，则“a²=b²”是“a²+b²=2ab”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：3046引用：18难度：0.8

  解析

• 3．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（　　）

  A． f （ x ） = | x 2 - 1 | x （ 1 - x 2 ）	B． f （ x ） = x 2 - 1 x | x 2 - 1 |
  C． f （ x ） = x 2 - 1 x 2 | x 2 - 1 |	D． f （ x ） = | x 2 - 1 | x 2 （ 1 - x 2 ）
  组卷：67引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知单位向量

  a

  ，

  b

  满足|

  a

  +

  b

  |=1，则

  a

  在

  b

  方向上的投影向量为（　　）

  A． 1 2 b

  B．- 1 2 b

  C． 1 2 a

  D．- 1 2 a
  组卷：795引用：6难度：0.7

  解析

• 5．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）

  A．f（x）=-lnx

  B． f （ x ） = 1 2 x

  C． f （ x ） = - 1 x

  D．f（x）=3|x-1|
  组卷：1268引用：21难度：0.7

  解析

• 6．设a=3^0.7，

  b

  =

  （

  1

  3

  ）

  -

  0

  .

  8

  ，c=log_0.70.8，则a,b,c的大小关系为（　　）

  A．a＜b＜c

  B．b＜a＜c

  C．b＜c＜a

  D．c＜a＜b
  组卷：920引用：20难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 19．已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b_n}是公比大于0的等比数列，b₁=4，b₃-b₂=48．
  （1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
  （2）记c_n=b_2n+

  1

  b

  n

  ，n∈N*．
  （i）证明：{

  c

  2

  n

  -c_2n}是等比数列；
  （ii）证明：

  n

  ∑

  k

  =

  1

  a

  k

  a

  k

  +

  1

  c

  2

  k

  -

  c

  2

  k

  ＜2

  2

  （n∈N*）．
  组卷：4409引用：6难度：0.5

  解析

• 20．已知函数f（x）=x³+klnx（k∈R），f′（x）为f（x）的导函数．
  （Ⅰ）当k=6时，
  （ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
  （ⅱ）求函数g（x）=f（x）-f′（x）+

  9

  x

  的单调区间和极值；
  （Ⅱ）当k≥-3时，求证：对任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＞x₂，有

  f

  ′

  （

  x

  1

  ）

  +

  f

  ′

  （

  x

  2

  ）

  2

  ＞

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  -

  x

  2

  ．
  组卷：5707引用：11难度：0.4

  解析