2022年上海市杨浦区高考数学模拟试卷（4月份）（线上）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.

• 1．已知

  a

  =（-1，1），则|

  a

  |=

  ．
  组卷：73引用：2难度：0.9

  解析

• 2．函数y=log₂（x+1）的反函数为

   

  ．
  组卷：148引用：2难度：0.9

  解析

• 3．若直线l₁：2x+my+1=0与l₂：y=3x-1垂直，则实数m=

   

  ．
  组卷：248引用：5难度：0.9

  解析

• 4．已知2+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x²+px+q=0的根，则p+q=

  ．
  组卷：108引用：1难度：0.8

  解析

• 5．已知sinx=

  3

  5

  ，x∈（

  π

  2

  ，π），则行列式

  sinx	- 1
  1	secx

  的值等于

  ．
  组卷：92引用：5难度：0.9

  解析

• 6．已知A={x|

  2

  x

  ＞1}，B={x|log₂（x-1）＜1}，则A∩B=

   

  ．
  组卷：368引用：3难度：0.5

  解析

• 7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于

  ．
  组卷：135引用：4难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1，过定点T（t,0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中t∈（0，a）．
  （1）若椭圆短轴长为2

  3

  且经过点（-1，

  3

  2

  ），求椭圆方程；
  （2）对（1）中的椭圆，若t=

  3

  ，求△OPQ面积的最大值；
  （3）在x轴上是否存在点S（s,0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s,t的关系；如果不存在，说明理由．
  组卷：145引用：1难度：0.2

  解析

• 21．已知a为实数，数列{a_n}满足：①a₁=a；②a_n+1=

  a n - 3	a n ＞ 3
  4 - a n	a n ≤ 3

  （n∈N^*）．若存在一个非零常数T∈N^*，对任意n∈N^*，a_n+T=a_n都成立，则称数列{a_n}为周期数列．
  （1）当a=3时，求a₁+a₂+a₃+a₄的值；
  （2）求证：存在正整数n,使得0≤a_n≤3；
  （3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{a_n}为周期数列；②存在正奇数k,使得S_k=2k.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由．
  组卷：87引用：1难度：0.5

  解析