2023-2024学年陕西省西安市铁一中学高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

• 1．已知

  sinα

  =

  1

  3

  ，

  α

  ∈

  （

  π

  2

  ，

  π

  ）

  ，则tanα的值为（　　）

  A． - 2 4

  B． 2 4

  C． - 2 2

  D． 2 2
  组卷：1281引用：8难度：0.8

  解析

• 2．已知a＞0，b＞0且2ab=a+2b,则a+8b的最小值为（　　）

  A． 4 2

  B．10

  C．9

  D． 27 2
  组卷：97引用：2难度：0.7

  解析

• 3．函数f（x）=sinx•ln|x|的部分图象大致为（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：354引用：11难度：0.9

  解析

• 4．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=

  2

  2

  ，则下列结论中错误的是（　　）

  A．AC⊥BE

  B．EF∥平面ABCD

  C．直线AB与平面BEF所成的角为定值

  D．异面直线AE，BF所成的角为定值
  组卷：400引用：8难度：0.7

  解析

• 5．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术．有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为a_n，容易发现：a₁=1，a₂=3，a₃=6，则a₁₀-a₅=（　　）

  A．45

  B．40

  C．35

  D．30
  组卷：61引用：4难度：0.7

  解析

• 6．已知焦点为F₁，F₂的双曲线C的离心率为

  5

  ，点P为C上一点，且满足2|PF₁|=3|PF₂|，若△PF₁F₂的面积为

  2

  5

  ，则双曲线C的实轴长为（　　）

  A．2

  B． 2

  C． 2 2

  D． 2 2
  组卷：324引用：4难度：0.5

  解析

• 7．已知△ABC的三个顶点都在抛物线x²=6y上，且F为抛物线的焦点，若

  AF

  =

  1

  3

  （

  AB

  +

  AC

  ）

  ，则

  |

  AF

  |

  +

  |

  BF

  |

  +

  |

  CF

  |

  =（　　）

  A．12

  B．10

  C．9

  D．6
  组卷：77引用：2难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知数列{a_n}满足a₁=2，

  a

  n

  +

  1

  =

  2

  -

  1

  a

  n

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ．
  （1）设

  b

  n

  =

  1

  a

  n

  -

  1

  ，求证：数列{b_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
  （2）设

  c

  n

  =

  2

  a

  n

  n

  +

  1

  ，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，是否存在正整数m,使得

  T

  n

  ＜

  1

  c

  m

  c

  m

  +

  1

  对任意的n∈N^*都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由．
  组卷：205引用：5难度：0.4

  解析

• 22．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的长轴长为8，以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆与直线h：y=

  2

  2

  （x-4）直线相切．
  （1）求椭圆的方程C；
  （2）已知直线l：x=8，过右焦点F的直线（不与轴重合）与椭圆C交于A，B两点，过点A作AD⊥l,垂足为D．
  ①求证：直线BD过定点E，并求出定点E的坐标；
  ②点O为坐标原点，求△OBD面积的最大值．
  组卷：145引用：4难度：0.6

  解析