2023年江苏省四校辅仁高级中学、江阴高中、宜兴一中、常州市北郊中学高考数学段考试卷（4月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知复数z满足（z-3）（1+i）=1-i,|z|=（　　）

  A． 2

  B． 3

  C． 5

  D． 10
  组卷：132引用：3难度：0.8

  解析

• 2．设U=R，已知两个非空集合M，N满足M∩（∁_UN）=∅，则（　　）

  A．M∩N=R

  B．M⊆N

  C．N⊆M

  D．M∪N=R
  组卷：36引用：1难度：0.9

  解析

• 3．大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数N（N不为素数）能唯一地写成

  N

  =

  p

  1

  a

  1

  •

  p

  2

  a

  2

  ⋯

  p

  k

  a

  k

  （其中p_i是素数，a_i是正整数，1≤i≤k,p₁＜p₂＜⋯＜p_k），将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有a₁+a₂+⋯+a_k个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（　　）

  A．6

  B．13

  C．19

  D．60
  组卷：64引用：1难度：0.7

  解析

• 4．已知多项式（x-2）⁵+（x-1）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵+a₆x⁶，则a₁=（　　）

  A．11

  B．74

  C．86

  D．-1
  组卷：461引用：4难度：0.8

  解析

• 5．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，P为弧AC上的点且∠PBC=45°，则

  BP

  •

  CP

  的值为（　　）

  A． 4 - 2

  B． 4 + 2

  C． 4 - 2 2

  D． 4 + 2 2
  组卷：252引用：5难度：0.6

  解析

• 6．在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，CD=2AB=2BC=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积与三棱锥A-BCD的体积之比为（　　）

  A． 3 π 4

  B． 3 π 2

  C．2π

  D．9π
  组卷：106引用：2难度：0.6

  解析

• 7．已知

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，

  sin

  4

  α

  1

  +

  cos

  4

  α

  =

  sinα

  cosα

  -

  2

  ，则

  tan

  α

  2

  =（　　）

  A． 15 5

  B． 5 3

  C． 15 15

  D． 5 5
  组卷：412引用：5难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知曲线

  E

  ：

  x

  2

  6

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  ，直线l：y=x+m与曲线E交于y轴右侧不同的两点A，B．
  （1）求m的取值范围；
  （2）已知点P的坐标为（2，1），试问：△APB的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．
  组卷：183引用：3难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=e^x-ax²，a∈R．
  （1）若a≤

  e

  2

  ，证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增．
  （2）若F（x）=alnx+

  f

  （

  x

  ）

  x

  存在两个极小值点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
  ①求实数a的取值范围；
  ②试比较F（x₁）与F（x₂）的大小．
  组卷：103引用：4难度：0.3

  解析