人教A版（2019）选择性必修第二册《4.4 数学归纳法》2021年同步练习卷（4）

一．选择题（共8小题）

• 1．用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，从n=k到n=k+1等式左边需增添的项是（　　）

  A．2k+2	B．[2（k+1）+1]
  C．[（2k+2）+（2k+3）]	D．[（k+1）+1][2（k+1）+1]
  组卷：352引用：7难度：0.7

  解析

• 2．用数学归纳法证明“（3n+1）•7ⁿ-1（n∈N^*）能被9整除”，在假设n=k时命题成立之后，需证明n=k+1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（　　）能被9整除．

  A．3×7k+6

  B．3×7k+1+6

  C．3×7k-3

  D．3×7k+1-3
  组卷：158引用：3难度：0.6

  解析

• 3．用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）（n∈N*）时，从“n=k到n=k+1”等式左边的变化结果是（　　）

  A．增乘一个因式（2k+1）

  B．增乘两个因式（2k+1）和（2k+2）

  C．增乘一个因式2（2k+1）

  D．增乘（2k+1）同时除以（k+1）
  组卷：207引用：5难度：0.7

  解析

• 4．用数学归纳法证明不等式

  1

  n

  +

  1

  +

  1

  n

  +

  2

  +

  …

  +

  1

  n

  +

  n

  ＞

  13

  14

  的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（　　）

  A．增加了 1 2 （ k + 1 ）

  B．增加了 1 2 k + 1 + 1 2 k + 2

  C．增加了 1 2 （ k + 1 ） - 1 k + 1

  D．增加了 1 2 k + 1 + 1 2 k + 2 - 1 k + 1
  组卷：405引用：8难度：0.5

  解析

• 5．对于不等式

  n

  2

  +

  2

  n

  ＜n+2（n∈N*），某同学用数学归纳法证明的过程如下：
  ①当n=1时，

  1

  2

  +

  2

  ＜1+2，不等式成立．
  ②假设当n=k（n∈N*）时，不等式成立，即

  k

  2

  +

  2

  k

  ＜k+2，则当n=k+1时，

  （

  k

  +

  1

  ）

  2

  +

  2

  （

  k

  +

  1

  ）

  =

  k

  2

  +

  4

  k

  +

  3

  ＜

  （

  k

  2

  +

  4

  k

  +

  3

  ）

  +

  （

  2

  k

  +

  6

  ）

  =

  （

  k

  +

  3

  ）

  2

  =（k+1）+2．
  故当n=k+1时，不等式成立．则上述证法（　　）

  A．过程全部正确

  B．n=1的验证不正确

  C．n=k的归纳假设不正确

  D．从n=k到n=k+1的推理不正确
  组卷：211引用：5难度：0.6

  解析

三．解答题（共4小题）

• 15．在数列{a_n}中，

  a

  1

  =

  1

  2

  ，

  a

  n

  +

  1

  =

  3

  a

  n

  a

  n

  +

  3

  ．
  （1）求出a₂，a₃并猜想a_n的通项公式；
  （2）用数学归纳法证明你的猜想．
  组卷：542引用：4难度：0.4

  解析

• 16．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，

  S

  n

  =

  a

  n

  （

  a

  n

  +

  1

  ）

  2

  ．
  （1）计算a₁，a₂，a₃，猜想数列{a_n}的通项公式；
  （2）用数学归纳法证明数列{a_n}的通项公式；
  （3）证明不等式

  1

  a

  1

  2

  +

  1

  a

  2

  2

  +

  1

  a

  3

  2

  +

  …

  +

  1

  a

  n

  2

  ＜

  7

  4

  对任意n∈N^*恒成立．
  组卷：382引用：2难度：0.5

  解析