2012年安徽师大附中自主招生数学试卷

一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分.把答案填在题中横线上）

• 1．若x=

  2

  +1，则x³-（2+

  2

  ）x²+（1+2

  2

  ）x-

  2

  的值是

  ．
  组卷：185引用：2难度：0.7

  解析

• 2．有6个量杯A、B、C、D、E、F，它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，还剩下一个空量杯，而酒精的体是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是

  ．
  组卷：33引用：1难度：0.7

  解析

• 3．不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于

  ．
  组卷：602引用：5难度：0.5

  解析

二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 10．两个男孩曹俊和伍岳在3×3棋盘上用黑棋子和白棋子对局，规则如下：
  （Ⅰ）他们轮流下子；
  （Ⅱ）每轮到一次，就把一个棋子放在棋盘的空格里；
  （Ⅲ）棋手轮到时，可选择一白子或一黑子，并且不必要总用同色；
  （IV）当棋盘填满时，某一行、列或对角线有偶数个黑棋子，曹俊就得1分，而某一行、列或对角线有奇数个黑棋子，伍岳就得1分；
  （V）棋手至少得到8分中的5分，就算得胜．
  （1）4：4和局是否可能？若可能，请列出一种表格的情况；若不可能，请说明理由；
  （2）叙述先下手的男孩的取胜策略．
  组卷：66引用：1难度：0.2

  解析

• 11．已知直线y=

  1

  2

  x和y=-x+m,二次函数y=x²+px+q的图象的顶点为M．
  （1）若M恰好在直线y=

  1

  2

  x与y=-x+m的交点处，试证明：无论m取何实数值，二次函数y=x²+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点．
  （2）在（1）的条件下，若直线y=-x+m过点D（0，-3），求二次函数y=x²+px+q的表达式，并作出其大致图象．
  （3）在（2）的条件下，若二次函数y=x²+px+q的图象与y轴交于点C，与x轴的左交点为A，试在直线y=

  1

  2

  x上求异于M的点P，使点P在△CMA的外接圆上．
  组卷：133引用：3难度：0.3

  解析