2022-2023学年吉林省长春二中高一（下）第一学程考试数学试卷

一、单选题（每题5分，共计40分）

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  m

  ,

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  c

  =

  （

  1

  ，

  3

  ）

  ，且

  （

  2

  a

  -

  b

  ）

  ⊥

  c

  ，则实数m为（　　）

  A．-4

  B．-3

  C．4

  D．3
  组卷：544引用：9难度：0.8

  解析

• 2．已知向量

  a

  ，

  b

  满足|

  a

  |=1，|

  b

  |=

  3

  ，|

  a

  -2

  b

  |=3，则

  a

  •

  b

  =（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  组卷：5487引用：33难度：0.7

  解析

• 3．对于任意的平面向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  ，下列说法中正确的是（　　）

  A．若 a ∥ b 且 b ∥ c ，则 a ∥ c

  B．若 a • b = a • c ，且 a ≠ 0 ，则 | b | = | c |

  C． （ a + b ） • c = a • c + b • c

  D． （ a • b ） c = a （ b • c ）
  组卷：220引用：3难度：0.8

  解析

• 4．在△ABC中，若∠A=30°，b=1，

  S

  △

  ABC

  =

  3

  ，则

  a

  +

  b

  sin

  A

  +

  sin

  B

  的值为（　　）

  A． 2 13

  B． 2 37

  C． 37

  D． 13
  组卷：340引用：5难度：0.7

  解析

• 5．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度v₁的大小|v₁|=10km/h,水流的速度v₂的大小|v₂|=4km/h,设v₁和v₂所成角为θ（0＜θ＜π），若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ等于（　　）

  A． - 21 5

  B． - 2 5

  C． - 3 5

  D． - 4 5
  组卷：89引用：4难度：0.7

  解析

• 6．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A′B′C′拼成的一个大等边三角形ABC，若A'B'=2，cos∠ABB'=

  11

  14

  ，则AB=（　　）

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  组卷：150引用：6难度：0.7

  解析

• 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知（sinA+sinB）（a-b）=sinC（b+c），若角A的内角平分线AD的长为3，则b+c的最小值为（　　）

  A．12

  B．24

  C．27

  D．36
  组卷：499引用：6难度：0.5

  解析

四、解答题（17题10分，18—22题每题12分，共计70分）

• 21．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，CB=2CA=2．点D，E分别是线段AB，BC上的点，满足

  AD

  =

  λ

  AB

  ，

  BE

  =

  λ

  BC

  ，

  λ

  ∈

  （

  0

  ，

  1

  ）

  ．
  （1）求

  AE

  •

  BC

  的取值范围；
  （2）是否存在实数λ，使得

  AE

  ⊥

  CD

  ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：595引用：17难度：0.5

  解析

• 22．如图，在平面四边形ABCD中，AD=BD，∠ADB=90°．CD=2

  2

  ，BC=2．
  （1）若∠BDC=45°，求线段AC的长；
  （2）求线段AC长的最大值．
  组卷：266引用：11难度：0.6

  解析