2021-2022学年福建省厦门市同安区国祺中学高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题（每小题5分，共8题40分）

• 1．已知空间向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ，-

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  λ

  ，

  7

  ）

  ，若

  a

  ⊥

  b

  ，则λ=（　　）

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  组卷：329引用：2难度：0.9

  解析

• 2．如图，空间四边形OABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，点M在

  OA

  上，且OM=2MA，点N为BC中点，则

  MN

  =（　　）

  A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B． - 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
  C． 1 2 a + 1 2 b - 1 2 c	D． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c
  组卷：2452引用：155难度：0.9

  解析

• 3．已知

  a

  =（2，0，1），

  b

  =（3，2，-5），则向量

  b

  在向量

  a

  上的投影向量是（　　）

  A． 1 5 （3，2，-5）	B． 1 38 （3，2，-5）
  C． 1 5 （2，0，1）	D． 1 38 （2，0，1）
  组卷：467引用：8难度：0.7

  解析

• 4．如图，点M是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱CD的中点，则异面直线AM与BC₁所成角的余弦值是（　　）

  A． 10 5

  B． 2 5 5

  C． 5 5

  D． 10 10
  组卷：862引用：19难度：0.7

  解析

• 5．直线x+

  3

  y+1=0的倾斜角是（　　）

  A．30°

  B．60°

  C．120°

  D．150°
  组卷：1198引用：32难度：0.9

  解析

• 6．已知半径为1的圆经过直线x+2y-11=0和直线2x-y-2=0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（　　）

  A．4

  B．5

  C．6

  D．7
  组卷：77引用：2难度：0.7

  解析

• 7．已知圆C₁：（x+2）²+（y-2）²=2，圆C₂与圆C₁关于直线x-y-1=0对称，则圆C₂的方程为（　　）

  A．（x+3）2+（y-3）2=2	B．（x-1）2+（y+1）2=2
  C．（x-2）2+（y+2）2=2	D．（x-3）2+（y+3）2=2
  组卷：65引用：2难度：0.5

  解析

四．解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，共计70分）

• 21．如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，CC₁=4，E是BB₁上的一点，且EB₁=1，D、F、G分别是CC₁、B₁C₁、A₁C₁的中点，EF与B₁D相交于H．
  （Ⅰ）求证：B₁D⊥平面ABD；
  （Ⅱ）求证：平面EFG∥平面ABD；
  （Ⅲ）求平面EGF与平面ABD的距离．
  组卷：274引用：8难度：0.3

  解析

• 22．已知圆

  F

  1

  ：

  x

  2

  +

  y

  2

  +

  2

  x

  -

  15

  =

  0

  和定点F₂（1，0），其中点F₁是该圆的圆心，P是圆F₁上任意一点，线段PF₂的垂直平分线交PF₁于点E，设动点E的轨迹为C．
  （1）求动点E的轨迹方程C；
  （2）设曲线C与x轴交于A，B两点，点M是曲线C上异于A，B的任意一点，记直线MA，MB的斜率分别为k_MA，k_MB．证明：k_MA•k_MB是定值；
  （3）设点N是曲线C上另一个异于M，A，B的点，且直线NB与MA的斜率满足

  k

  NB

  =

  4

  3

  k

  MA

  ，试探究：直线MN是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．
  组卷：141引用：2难度：0.3

  解析