2010年初中数学培优竞赛训练题

一、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）

• 1．如图，填在下面三个田字格内的四个数具有相同的规律，根据此规律，则C=

  ．
  
  组卷：158引用：30难度：0.5

  解析

• 2．如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数．例如，6的不包括自身的所有因数为1，2，3，而且6=1+2+3，所以6是完全数．大约2200多年前，欧几里德提出：如果2ⁿ-1是质数，那么2^n-1（2ⁿ-1）是一个完全数．请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数

  ．
  组卷：190引用：37难度：0.7

  解析

• 3．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
  
  （1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a=

  ；
  （2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是

  （用含n的代数式表示）．
  组卷：318引用：38难度：0.7

  解析

三、解答题（共2小题，满分0分）

• 10．已知x₁、x₂、x₃、…、x_n都是+1或-1，并且

  x

  1

  x

  2

  +

  x

  2

  x

  3

  +

  x

  3

  x

  4

  +

  …

  +

  x

  n

  -

  1

  x

  n

  +

  x

  n

  x

  1

  =

  0

  ，求证：n是4的倍数．
  组卷：296引用：4难度：0.5

  解析

• 11．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着．现将其顺序编号为1，2，3，…，1997．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？
  组卷：124引用：2难度：0.7

  解析