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2022-2023学年广东实验中学（深圳学校）高一（下）期中数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z满足（-3i）z=4-5i,则z的虚部为（　　）
A．
4
i
3
B．
4
3
C．
-
4
3
D．
-
4
i
3
组卷：76引用：3难度：0.8
解析
2．平面向量
a
=（-2，k），
b
=（2，4），若
a
⊥
b
，则|
a
-
b
|=（　　）
A．6 B．5 C．
2
6
D．
2
5
组卷：789引用：5难度：0.9
解析
3．在△ABC中，若（a+b+c）（c+b-a）=bc,则A=（　　）
A．
5
π
6
B．
2
π
3
C．
π
3
D．
π
6
组卷：549引用：4难度：0.8
解析
4．如图，矩形OABC′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA′=6，OC′=2，则原图形OABC的面积为（　　）
A．24
2
B．12
2
C．48
2
D．20
2
组卷：426引用：15难度：0.9
解析
5．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°，
|
AB
|
=
2
，则
|
AC
|
等于（　　）
A．1 B．
2
C．
3
D．2
组卷：194引用：6难度：0.8
解析
6．若圆锥高为3，体积为3π，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．4π B．5π C．6π D．7π
组卷：276引用：4难度：0.8
解析
7．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若
AB
=m
AM
，
AC
=n
AN
（m,n＞0），则
1
m
+
4
n
的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．
9
2
D．5
组卷：616引用：9难度：0.7
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
组卷：165引用：13难度：0.7
解析
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量
m
=（x₁，y₁），
n
=（x₂，y₂），作：
OM
=
m
，
ON
=
n
．当
m
，
n
不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S（
m
，
n
）=|x₁y₂-x₂y₁|；当
m
，
n
共线时，规定S（
m
，
n
）=0．
（Ⅰ）分别根据下列已知条件求S（
m
，
n
）：
①
m
=（2，1），
n
=（-1，2）；②
m
=（1，2），
n
=（2，4）；
（Ⅱ）若向量
p
=λ
m
+μ
n
（λ，μ∈R，λ²+μ²≠0），
求证：S（
p
，
m
）+S（
p
，
n
）=（|λ|+|μ|）S（
m
，
n
）；
（Ⅲ）若A，B，C是以O为圆心的单位圆上不同的点，记
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
．
（ⅰ）当
a
⊥
b
时，求S（
c
，
a
）+S（
c
，
b
）的最大值；
（ⅱ）写出S（
a
，
b
）+S（
b
，
c
）+S（
c
，
a
）的最大值．（只需写出结果）
组卷：361引用：8难度：0.3
解析